moglobi.ru Другие Правовые Компьютерные Экономические Астрономические Географические Про туризм Биологические Исторические Медицинские Математические Физические Философские Химические Литературные Бухгалтерские Спортивные Психологичексиедобавить свой файл
страница 1
Темы курсовых работ

на 2012-2013 учебный год

доцент Е.Ю.Америк



1-2 курс

1. Грассмановы многообразия, плюккерово вложение,  циклы Шуберта
и другие подмногообразия малой степени
(в особенности на $G(2,4))
приложения к исчислительной геометрии (например: сколько прямых в пространстве пересекает четыре заданные, если они расположены "достаточно общим" образом?).
Литература: написано много где, например, в книге Гриффитса и Харриса  
"Принципы алгебраической геометрии" (пятый параграф первой главы). Наверное,  есть и более элементарные источники (посмотрим вместе ближе к делу).
2. Групповой закон на кубической кривой, аналогия  с классическими
теоремами проективной геометрии
(такими, как теорема Паскаля о шести точках на конике), связь с линейными системами плоских кривых. Для начала можно  взять книжку М. Рида "Алгебраическая геометрия для всех", потом продолжить чем-нибудь чуть более продвинутым; или, скажем, почитать о применении эллиптических кривых в криптографии.



2-3 курс

3.Теорема Римана-Роха для кривых по книжке  Ленга "Введение
в алгебраические и абелевы функции".
Будет интересно, в частности, студентам, прослушавшим начальный курс алгебраической геометрии, т.к. это взгляд немного с другой стороны на очень важный классический результат, требующий довольно продвинутой техники.


4. Группа классов идеалов кольца целых числового  поля, в частности,
ее конечность (по книжке Самюэля "Алгебраическая теория чисел").
Хотя  весьма вероятно, что кто-нибудь из коллег рассказывает это в своем (спец?)курсе! Но  книжка хорошая,-второй и там много других замечательных результатов (теорема о единицах и т. п.; можно их тоже изучить).



3-4 курс

5. Хорошо известно, что поле симметрических  (инвариантных относительно очевидного действия $S_n$ на $k(T_1, ...,  T_n)$) рациональных функций чисто трансцедентно. Знаменитая теорема  Люрота (докажите ее!) утверждает, что любое подполе $k(T)$ (где $k$  алгебраически замкнуто)чисто трансцедентно над $k$. Э. Нетер задала следующий вопрос: верно  
ли, что поле инвариантов действия конечной группы перестановками координат на $k(T_1, ...,  T_n)$ тоже чисто трансцедентно?

Если бы это было так, можно было бы, например, строить расширения поля  


рациональных чисел с произвольной группой Галуа, пользуясь теоремой Гильберта о  неприводимости.

Насколько я знаю, первый контрпример принадлежит Свану, там количество  


переменных равно 47. Солтман позже построил контрпримеры и над алгебраически замкнутым полем.  
Предлагается изучить их статьи (R. Swan, Inventiones Math., 1969; D. Saltman, Inventiones  Math. 1984.) или еще что-нибудь на эту тему.

страница 1
скачать файл


Смотрите также: