moglobi.ru Другие Правовые Компьютерные Экономические Астрономические Географические Про туризм Биологические Исторические Медицинские Математические Физические Философские Химические Литературные Бухгалтерские Спортивные Психологичексиедобавить свой файл
страница 1
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ РЯДОВ ФАРЕЯ В РЕШЕНИИ ЗАДАЧ

Апеев Д.В.



7Б класс, СОШ им. Б.Момышулы, п. Топар Абайского района

рук. Шавкун Т.С.
На практике встречаются упражнения по упрощению (вычислению) дробей, требующих много времени, если их выполнять, используя обычные, стандартные приемы. Например, вычислить:

Поиск информации по данной теме привел меня к рядам Фарея. Джон Фарей был геологом по образованию, его единственным вкладом в математику были дроби, названные его именем. В 1816 году была опубликована статья Фарея «Об интересном свойстве обыкновенных дробей», в которой Фарей определил последовательность Fn и описал то самое «интересное свойство» итеративного построения последовательностей. Что представляют ряды Фарея, какими свойствами обладают, как их получить и использовать в решении - цель моего проекта.

Если выписать все правильные несократимые дроби, у которых знаменатель не больше 7, то получим:

, если эти дроби расположим в порядке возрастания, то запишем следующую последовательность дробей:

Обратим внимание на интересную закономерность: числитель разности двух соседних дробей равен 1, а знаменатель – произведение знаменателей (взаимно - простые числа):



Если взять две любые соседние дроби и выполнить действия 7·1-6·1, 7·1-3·2, то всегда получим 1.

Еще интересная закономерность для такой последовательности, каждая дробь получается из соседних дробей следующим образом: сложить числители дробей и разделить полученное число на сумму знаменателей. Например, .
Таким образом, если две рядом стоящие дроби, то а1в-ав1=1, причем . А если - три соседние дроби, то .

Применив данные свойства, можно построить ряды чисел Fn для n=1,2,…, 8:

F1= {01, 11}

F2 = {01, 12, 11}

F3 = {01, 13, 12, 23, 11}

F4 = {01, 14, 13, 12, 23, 34, 11}

F5 = {01, 15, 14, 13, 25, 12, 35, 23, 34, 45, 11}

F6 = {01, 16, 15, 14, 13, 25, 12, 35, 23, 34, 45, 56, 11}

F7 = {01, 17, 16, 15, 14, 27, 13, 25, 37, 12, 47, 35, 23, 57, 34, 45, 56, 67, 11}

F8 = {01, 18, 17, 16, 15, 14, 27, 13, 38, 25, 37, 12, 47, 35, 58, 23, 57, 34, 45, 56, 67, 78,11}


Cемейство конечных подмножеств рациональных чисел - носит название дробей Фарея (ряды Фарея), также "последовательность Фарея" или "таблица Фарея". Последовательность Фарея n-го порядка представляет собой возрастающий ряд всех несократимых дробей, знаменатель которых меньше или равен n.

Возвращаясь к примеру



представим дроби в виде разности соседних дробей рядов Фарея:

=1-

В перспективе я планирую расширить свои знания в области рядов Фарея, а также узнать интересные факты из теории чисел, потому что многие из них могут пригодиться в программировании задач, решении примеров.

1. Упростить выражение:

;
2. Построить ряд Фарея, отвечающий числу n, если: n=10
3. Задача по программированию. Последовательностью Фарея порядка N называется возрастающая последовательность несократимых положительных дробей со знаменателями, не превосходящими N.

Ваша задача: по k-му ее элементу получить (k+1)-й.


Входные данные


В первой строке находится N (1<=N<=1050). Во второй строке входного файла находится числитель P k-ой дроби, а в третьей - ее знаменатель Q (0<=P<=1050, 1<=Q<=N).

Выходные данные


В первой строке выходного файла должен находиться числитель (k+1)-ой дроби, а во второй - ее знаменатель (без ведущих нулей).


Пример входного файла

Input.txt

2

3

2



Пример выходного файла

Output.txt

2

1



Литература

1.Вагутен В. «Квант» 1975г, №8



2.К.Чандрасекхаран «Введение в аналитическую теорию чисел» 1974г

3. http://mschool.kubsu.ru/ma/t3/5kl/5kl_1.html
страница 1
скачать файл


Смотрите также: