moglobi.ru Другие Правовые Компьютерные Экономические Астрономические Географические Про туризм Биологические Исторические Медицинские Математические Физические Философские Химические Литературные Бухгалтерские Спортивные Психологичексиедобавить свой файл
страница 1 страница 2
Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Омский государственный технический университет»

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ

Конспект лекций по теории электромагнитного поля


Омск ЁC 2006


РАЗДЕЛ 1
Лекция 1
Электростатическое поле. Закон Кулона. Напряженность и потенциал. Электрическая индукция. Уравнения Пуассона и Лапласа.
1. Векторы электромагнитного поля.
Далеко не всегда при анализе электромагнитных явлений могут быть использованы понятия об электрической и магнитной цепях, хотя бы даже для получения приближенного решения. В качестве параметра, с помощью которого производится классификация задач на задачи теории поля и теории электрических цепей выступает длина волны л. В тех случаях, когда длина волны соизмерима с размерами устройства во всех направлениях, необходимо для анализа электромагнитных процессов в устройстве исходить из теории электромагнитного поля. Даже оставаясь в рамках теории электрической и магнитной цепей, мы оперируем с параметрами цепей, например, с индуктивностью, емкостью, электрическим сопротивлением, магнитным сопротивлением, принимая значения этих параметров как данные. Однако для расчета параметров цепей необходимо знать электрические и магнитные поля, образующиеся на участках цепей при наличии в этих участках токов и напряжений.

Электромагнитное поле характеризуется четырьмя векторными величинами:

µ § - напряженность электрического поля;

µ § - вектор электрического смещения (электрическая индукция);

µ § - напряженность магнитного поля;

µ § - магнитная индукция.

Определить поле в некоторой области пространства ЁC значит указать эти векторы поля в любой ее точке. Это достигается составлением уравнений электромагнитного поля и их решением с учетом граничных условий.

Роль полезного дополнения к математическому анализу играет графическое описание поля, дающее наглядное представление о сложных электромагнитных процессах и часто значительно облегчающее их понимание. Сущность его состоит в следующем. Каждому вектору поля в некоторой области в рассматриваемый момент времени ставится в соответствие семейство линий. Эти линии проводят так, чтобы их касательные указывали направление вектора поля, а густота приблизительно соответствовала абсолютному значению. Обычно линии вектора µ § называют электрическими силовыми линиями, а линии вектора µ § - магнитными силовыми линиями.

В качестве иллюстрации можно использовать хорошо известные из курса физики картины электрических силовых линий поля одиночных зарядов

(рис. 1.1, а) и магнитных силовых линий поля прямолинейного тока (рис. 1.1, б).

а)

б)


Рис. 1.1

Изучение теории электромагнитного поля мы начинаем с его основных уравнений.

Здесь необходимо сделать следующие замечания.

Изучаемые нами законы электромагнетизма ЁC это законы макроскопических процессов, в которых усредняется действие огромных количеств элементарных частиц материи. С точки зрения этих законов, среда представляется сплошной. Для реальных сред символ ДSЎж0 имеет условное значение: площадка уменьшается, но лишь до такой степени, при которой не будет проявляться дискретность материи и макроскопические закономерности останутся в силе.

Мы будем изучать законы электромагнитного поля неподвижных сред.

2. Закон полного тока ЁC первое уравнение Максвелла.


Закон полного тока есть результат длительного процесса и постепенного обобщения опыта. Он устанавливает связь между электрическим током и напряжением магнитного поля и гласит: линейный интеграл напряженности магнитного поля по любому замкнутому контуру (т. е. циркуляция вектора напряженности) равна полному току сквозь поверхность, ограниченную этим контуром.
µ §(1.1)

ЁC это интегральная форма записи закона полного тока.

(1.1) применяют, когда может быть использована симметрия в поле.

Согласно уравнению (1.1) µ § может рассматриваться как мера электрического тока, проходящего сквозь поверхность S, ограниченную этим контуром L (рис. 1.2, а). Однако по величине этого интеграла нельзя судить о распределении тока по поверхности S.

а)

б)

Рис. 1.2


Чтобы решить этот вопрос, необходимо воспользоваться этим же уравнением в дифференциальной форме. Выделим на поверхности S небольшую площадку (контур) ДS и составим для него циркуляцию вектора µ § (рис. 1.2, б). Если площадка мала, то плотность тока µ § в пределах площадки одинакова и ток, пронизывающий площадку µ §.

µ §- проекция вектора плотности тока на нормаль к площадке, т. е. направление µ §.


µ §

Разделим обе части равенства на ДS и устремим ДSЎж0. Это будет соответствовать стягиванию рассматриваемой площадки к нулю. И возьмем предел этого отношения:


µ §
Предел полученного отношения равен:
µ §
Величина, стоящая в левой части равенства, как известно из математики, представляет проекцию вектора µ § на направление нормали к площадке ДS.
rotnµ §=µ §
Если площадку (элемент поверхности) ДS ориентировать в пространстве так, что направление нормали к ней совпадает с направлением вектора плотности тока µ § в данной точке поля, то
rotµ §=µ §(1.2)

Это уравнение электромагнитного поля носит название 1го уравнения Максвелла или закон полного тока в дифференциальной форме. Ценность записи уравнения поля в векторной форме заключается в том, что такая запись не зависит от выбора системы координат.

Но в каждой конкретной системе координат оно раскрывается по-своему.
3. Закон электромагнитной индукции ЁC второе уравнение Максвелла.
Закон электромагнитной индукции открыт Фарадеем в 1831 г. Он гласит:

в цепи, охватывающей изменяющийся во времени магнитный поток, возникает Э.Д.С., пропорциональная скорости изменения потока, т. е.


µ §.
Определяя Э.Д.С. как работу, совершаемую при переносе единичного заряда по замкнутому контуру, можно представить ее интегралом:
µ §
Максвеллу принадлежит заслуга обобщения этого закона на случай любой среды.
µ § (1.3)

ЁC обобщенная максвелловская формулировка закона электромагнитной индукции на случай любой среды. В частности, это может быть лишь мысленный контур, находящийся целиком в пустоте.

Магнитный поток Ф по определению, есть поток вектора магнитной индукции µ § через поверхность, ограниченную контуром, т. е.:
µ §

Поэтому (1.3):

µ §
Здесь рассматривается поле в неподвижных средах, поэтому полная производная заменена частной.

причем площадь S опирается на контур L.

На основании теоремы Стокса
µ § ,

поэтому


µ §

Равенство должно выполняться при любых площадках S, что возможно только в том случае, когда равны подынтегральные функции обоих интегралов. Следовательно:

µ §(1.4)µ §
Это 2ое уравнение Максвелла, представляющее собой дифференциальное выражение закона электромагнитной индукции.

µ §


Физический смысл 2го уравнения Максвелла состоит в том, что в пространстве, где магнитная индукция изменяется во времени, возникает в том же пространстве напряженность электрического поля, направление линий которого связано с изменением магнитной индукции правилом левоходового винта (рис. 1.З).

Рис. 1.3
4. Теорема Гаусса и постулат Максвелла.


Теорема Гаусса гласит:

поток вектора напряженности электрического поля сквозь замкнутую поверхность в однородной и изотропной среде равен отношению электрического заряда, заключенного в объеме пространства, ограниченного этой поверхностью, к абсолютной диэлектрической проницаемости среды, т. е.:

µ §(1.5)

Теорема применяется, когда может быть использована симметрия в электрическом поле.

Т. о. интеграл напряженности электрического поля, распространенный по некоторой замкнутой повер-хности для однородной и изотопной среды может рассматриваться как мера электрического заряда, заключенного внутри этой поверхности (рис. 1.4).
Рис. 1.4

Однако по величине этого интеграла еще нельзя судить о распределении электрического заряда внутри объема, ограниченного замкнутой поверхностью. Для решения этого вопроса необходимо применить теорему Гаусса в дифференциальной форме.

Воспользуемся теоремой Остроградского-Гаусса. В соответствии с этой теоремой интеграл по замкнутой поверхности равен интегралу дивергенции этого вектора, взятый по объему, ограниченному этой поверхностью.
µ §

div или «расхождение»


µ § ЁC скалярная величина.

Правую часть (1.5) можно представить.

µ §

с ЁC объемная плотность заряда.


Тогда можно записать

µ §


Поскольку полученное равенство применимо к любому объему, то должны равняться подынтегральные выражения:

µ §
5. Теорема Гаусса в дифференциальной форме.


Термин «расхождение» хорошо характеризует особенности поля в тех местах, где сЃ‚0 и в тех местах, где с=0.

Положительный заряд можно рассматривать как источник линий напряженности электрического поля, около него начинаются эти линии (рис. 1.5, а). Отрицательный заряд можно рассматривать как «сток» линий, около него линии кончаются (рис. 1.5, б).

Поэтому, если в некотором объеме dV объемная плотность электрического заряда сЃ‚0, то через поверхность А, ограничивающую этот объем, линии напряженности электрического поля расходятся в окружающее пространство или

сходятся в него, что кратко выражается словами:

расхождение вектора µ § не равно нулю.

В области поля, где отсутствуют объемные заряды (с=0), линии напряженности поля не начинаются и не заканчиваются (рис. 1.5, в); через любой элемент объема такого пространства линии напряженности поля проходят, но не расходятся от него и не сходятся к нему. Мы говорим: расхождение вектора µ § во всех точках такой области равно нулю:

µ § ЁC такое поле называется соленоидальным (трубкообразным).
µ §

µ §


а)

б)

в)


µ §

µ §


µ §

Рис. 1.5
Для неоднородной среды теорема Гаусса не применима. При этом следует пользоваться аналогичным, имеющим более общий вид характер: уравнением для вектора электрического смещения µ §.

Именно согласно постулату Максвелла, поток вектора электрического смещения сквозь любую замкнутую поверхность в любой среде равен свободному электрическому заряду, заключенному в пространстве, ограниченном этой поверхностью:
µ §

В дифференциальной форме постулат Максвелла:


µ §(1.6)

µ § ЁC зависит от свойств диэлектрической среды (еа);

µ § ЁC не зависит от свойств диэлектрической среды.

6. Принцип непрерывности магнитного потока.


Имеющий фундаментальное значение принцип непрерывности магнитного потока утверждает, что линии магнитной индукции нигде не имеют ни начала, ни конца ЁC они всюду непрерывны. Иными словами, магнитный поток сквозь любую замкнутую поверхность равен нулю:
µ §(1.7)

ЁC математическая запись принципа непрерывности магнитного потока.

В природе не существует магнитных масс, являющихся источниками линий магнитной индукции, подобных электрическим зарядам, которые дают начало линиям электрического смещения. Магнитное поле порождается только электрическими токами и линии µ §, окружающие эти токи, всегда замкнуты, непрерывны.

Разделим обе части равенства (1.7) на объем V, находящийся внутри замкнутой поверхности S, и найдем предел отношения, когда VЎж0.


µ §

или


(1.8)

ЁC дифференциальная форма принципа непрерывности магнитного потока.

Формула (1.8) справедлива для всех точек любого магнитного поля.

Следовательно, в любой точке магнитного поля нет ни истока, ни стока линий вектора магнитной индукции.


7. Полная система уравнений электромагнитного поля.
Рассмотрим выражение µ §. В правой части его µ §.

µ § ЁC плотность тока проводимости, обусловленного движением заряженных частиц;

µ § ЁC плотность тока электрического смещения.

Ток электрического смещения возникает в любом диэлектрике, в том числе и в вакууме, при изменении вектора электрической индукции во времени. Ток смещения порождает магнитное поле так же, как и ток проводимости.

С током смещения мы встречались неоднократно. Например, возьмем незаряженный плоский конденсатор и подключим его к источнику Э.Д.С. U через R, то µ §. Т. к. µ §; µ §.

Электрическое поле изменяется и по диэлектрику пойдет ток, т. е. µ §.

Т. о. полная система уравнений электромагнитного поля:
Интегральная формаДифференциальная формаµ §rotµ §=µ §µ §µ §µ §µ §µ § µ §

µ §
8. Классификация электромагнитных явлений.


Уже было отмечено, что при движении заряженного тела, около него возникает как электрическое, так и магнитное поля, т. е. обнаруживается электромагнитное поле, и что лишь в частном случае покоящегося заряженного тела около него обнаруживается одно электрическое поле.

Уже из этого простого факта следует, что уравнения, характеризующие электростатическое поле, должны вытекать как частный случай из общих уравнений электромагнитного поля, если положим µ § и µ §.

Уравнения электростатики:

µ §; µ §; µ §.

Другим простейшим случаем является система неподвижных сверхпроводящих контуров, по которым протекают постоянные токи. Около таких контуров обнаруживается только статическое магнитное поле. Действительно, электрическое поле в такой системе полностью отсутствует, т. к. магнитный поток не изменяется во времени и, следовательно, в пространстве не индуктируется никаких Э.Д.С. и, кроме того, сопротивление проводников, а, следовательно, и падение напряжения в проводниках равны нулю. Магнитное поле постоянных магнитов имеет такой же характер, как и поле возле неподвижных сверхпроводящих контуров с токами, т. к. оно создается элементарными токами в теле магнита, протекающими без потерь энергии.

Уравнения магнитостатики:

µ §; µ §; µ §.

Т. о. электрические и магнитные явления при указанных условиях взаимно независимы.

Однако уже при наличии постоянного тока, протекающего в неподвижных проводниках и обладающих отличным от нуля электрическим сопротивлением µ §; µ §, а электрическое и магнитное поля оказываются связанными посредством соотношений:

µ §; µ §.

Электромагнитное поле при постоянном токе описывается уравнениями Максвелла, в которых положено µ §.

Следующим шагом является переход к явлениям квазистационарным, т. е. протекающим достаточно медленно. По своему строению квазистационарные поля еще близки к статическим, но в записи 2-го уравнения Максвелла теперь правая часть отлична от нуля:

µ §

В первом уравнении Максвелла при наличии тока проводимости (µ §) можно пренебречь током смещения, т. к. для квазистационарных явлений µ §, и тогда 1-ое уравнение Максвелла примет вид:



µ §

Однако ток смещения необходимо учитывать, когда тока проводимости нет (емкость в цепи переменного тока), тогда

µ §.
9. Векторные операции в различных системах координат.
Ценность записи уравнений поля в векторной форме заключается в том, что такая запись не зависит от выбора системы координат. Однако выражения для составляющих rot и div некоторого вектора µ § получаются различными в разных системах координат.

В прямоугольной системе:


µ §;

µ §;


µ §;

µ §.
В сферической системе (r; ц; б) (рис. 1.6):


µ §;

µ §;


µ §

µ §;


µ §.

Рис. 1.6
В цилиндрической системе (r; ц; z) (рис. 1.7):


µ §;

µ §;


µ §;

µ §.


Рис. 1.7

10. Электростатическое поле.


Как было сказано выше, не изменяющееся во времени электрическое поле в пространстве без токов ЁC электростатическое поле ЁC не зависит от магнитного и определяется следующей системой уравнений:
1) µ § µ §

2) µ § µ §

3) µ §
Уравнения электростатического поля вытекают как частный случай из общих уравнений электромагнитного поля если положим µ §, µ §.

Анализ этих уравнений приводит к основным понятиям электростатики.


11. Скалярный потенциал электрического поля.
Начнем с первого уравнения µ §, утверждающего, что электростатическое поле является безвихревым, или, как чаще говорят, потенциальным. Происхождение второго термина связано со следующим свойством электростатического поля.

В силу известного тождества векторного анализа µ §, напряженность этого поля µ § есть градиент некоторого скаляра µ §, который называется электростатическим потенциалом.

µ §(1.9)

1. Градиент скалярной функции ЁC скорость изменения функции (ц), взятая в направлении ее наибольшего возрастания (рис. 1.8). В этом определении существует 2 положения:

1) направление, в котором берутся две близлежащие точки, должно быть таким, чтобы скорость изменения потенциала была максимальна;

2) направление таково, что скалярная функция в этом Рис. 1.8 направлении возрастает.


В декартовых координатах:

µ §


µ §

µ §, µ §, µ § - единичные векторы (орты) соответствующих осей.

Подставив выражения µ §, µ § в уравнение (1.9), получим

µ §.


Отсюда

µ §; µ §; µ §.

Оператор Гамильтона:

µ §


µ §; µ §

2. Потенциал ЁC неоднозначная функция поля. Если положить:

µ §(1.10)где µ § - некоторый скаляр, то будет удовлетворено уравнение µ §.

Легко увидеть, однако, что записанное выражение (1.10) будет описывать поле, тождественное (1.9), лишь в том случае, если µ § (не зависит от координат). Итак, для данного поля µ § потенциал определен с точностью до постоянной.


3. Выясним физическое содержание введенного понятия µ §.

Напряженность µ § определяется как сила, действующая на единичный точечный заряд, помещенный в данную точку поля. При перемещении этого заряда вдоль элементарного отрезка (рис. 1.9):


µ §

силы поля совершают работу:

µ §,

а работа по переносу заряда из т. 1 в т. 2



µ § (1.11)
Рис. 1.9
Переписав стояще под знаком интеграла скалярное произведение в декартовых координатах:

µ §,


видим, что он представляет собой взятый с обратным знаком полный дифференциал функции µ §:

µ §.


Поэтому можно записать:

µ §(1.12)

µ §

µ §


Итак, работа, совершаемая при перемещении единичного положительного точечного заряда в электростатическом поле, равна разности потенциалов начальной и конечной точек пути. Она не зависит от абсолютного значения потенциалов, а также от вида пути, соединяющего точки. В частности, работа при обходе замкнутого контура равна нулю. Этот факт выражается формулой:

Рис. 1.10

µ §.

Объединяя (1.11) и (1.12) получаем связь разности потенциалов с напряженностью поля:


µ §(1.13)

Как уже говорилось, значение потенциала определяется лишь с точностью до постоянной величины. Эту постоянную при необходимости выбирают условно. Так, иногда удобно считать, что потенциал земли или корпуса какого-либо устройства равен нулю. После этого потенциал любой точки определяется на основании (1.13), где М1 или М2 лежит в области известного потенциала (рис. 1.10).

В электростатике обычно принимают, что потенциал в бесконечно удаленных точках равен нулю. Тогда потенциал в произвольной точке М численно равен работе, совершаемой при перемещении единичного заряда из этой точки в бесконечность, т. е.:

µ §


Понятие потенциала значительно упрощает задачу нахождения электростатического поля: вместо трех проекций вектора µ § достаточно сначала найти одну лишь функцию µ §, после чего поле вычисляется путем простого дифференцирования:

µ §.
12. Силовые линии и эквипотенциальные поверхности.


Силовые линии электростатического поля в каждой точке указывают направление вектора µ § своей касательной. Т. о., векторный дифференциал длины силовой линии:

µ §


параллелен вектору

µ §


и компоненты обоих векторов пропорциональны

µ §


Эти пропорции равносильны двум дифференциальным уравнениям:

µ §; µ §,

описывающим силовые линии.

Выясним, каким свойством обладают поверхности, к которым силовые линии перпендикулярны.


Если векторный элемент длины µ §лежит на поверхности S, то он перпендикулярен вектору µ § (рис. 1.11):

µ §


Но уже известно, что скалярное произведение µ § представляет собой полный дифференциал функции µ §, поэтому можно написать: dц=0.

Рис. 1.11

Это означает, что на поверхности S потенциал не изменяется. S ЁC есть поверхность постоянного потенциала или эквипотенциальная поверхность. Следы поверхностей равного потенциала в плоскости чертежа называют линиями равного потенциала.

Итак, найдено, что силовые линии электростатического поля везде пересекают эквипотенциальные поверхности под прямым углом.


13. Определение потенциала по известному распределению зарядов.
µ §

1. Потенциал точечного заряда.

µ §

Поле точечного заряда легко определяется путем непосредственного применения теоремы Гаусса.



µ §

µ §


µ §

µ § или µ §.

Рис. 1.12

Поток вектора µ §, выходящий через сферическую поверхность, в центре которой находится заряд, должен во всех точках этой поверхности иметь одинаковую плотность в силу центральной симметрии системы (рис. 1.12). Отсюда вытекает, что вектор µ § нормален к сферической поверхности и во всех ее точках постоянен по величине.

µ §

µ §.


Определим потенциал точечного заряда.

µ §.


В силу сферической симметрии

µ §;


µ §.

Для системы точечных зарядов:

µ §;

М ЁC точка наблюдения;



К ЁC точка, в которой располагается заряд.
2. Потенциал от объемного распределения зарядов.

µ §
µ §

µ §

µ §


Рис. 1.13

Разделив все распределенные в пространстве заряды на элементарные части dq (рис. 1.13), будем рассматривать эти элементы dq как точечные заряды. Потенциал в точке М, определяемый каждым таким элементом, равен

µ §.

Следовательно, потенциал, определяемый всей совокупностью распределенных в пространстве зарядов, может быть найден из формулы:



µ §.

Если электрический заряд распределен по объему V с объемной плотностью с (в некоторой точке пространства), то следует разбить весь объем на элементы dV. Тогда:

µ §.
3. Потенциал от поверхностного распределения зарядов.

Если заряд распределен лишь в весьма тонких слоях у поверхности заряженных тел, то можно считать, что заряд распределен на поверхности тел. Разбивая заряженные поверхности на элементы dS, можем написать dq=уdS,

где у ЁC поверхностная плотность заряда. Тогда выражение потенциала принимает вид:

µ §,


причем потенциал должен быть распространен по всем заряженным поверхностям.
4. Потенциал от линейного распределения заряда.

Рассмотрим заряженную нить. Ее поле легко найти путем непосредственного применения теоремы Гаусса. Из изображений симметрии следует, что электрические силовые линии ЁC это равномерно идущие радиальные прямые. Окружив нить симметрично расположенным цилиндром радиуса RМ и длиной l (рис. 1.14), найдем вектора напряженности µ § через ее поверхность.

µ §,

где q ЁC заряд участка длиной l.



Отсюда

µ §,


где µ § ЁC линейная плотность заряда.

Потенциал

µ §

Рис. 1.14


При рассмотрении линейного проводника мы не можем принять ц=0 в бесконечности. Необходимо принимать в конкретной точке.
µ §.
14. Уравнения Пуассона и Лапласа.
Теорема Гаусса в дифференциальной форме имеет вид:

µ §


Заменяя µ §, получаем

µ §


Выражение µ § в декартовой системе координат:

µ §


Произведение µ § можно записать так:

µ §


Т. е. µ § ЁC т. е. скалярное умножение оператора µ § (Набла) означает взятие дивергенции от этой векторной функции.

Известно, что µ §, получим µ §.

µ §(1.14)ЁC уравнение Пуассона.

µ § ЁC оператор Лапласа или Лапласиан.

Частный вид уравнения (1.14) при µ §

µ § ЁC уравнение Лапласа.


Решением уравнения Пуассона является интеграл, полученный выше:

µ §


ЁC когда заряды распределены в конечной области пространства.

В декартовой системе координат уравнение Пуассона имеет вид:

µ §

В цилиндрической системе координат:



µ §

В сферической системе координат:

µ §.

Итак, уравнение Пуассона дает связь между частными производными второго порядка от ц в любой точке поля и объемной плотностью свободных зарядов в этой точке поля µ §. Потенциал в этой точке поля зависит от всех видов заряда, создающих поле, а не только от величины свободных зарядов. В общем случае:



µ §.

Решение уравнений Пуассона и Лапласа ЁC множество решений со своими постоянными интегрирования. На основании теоремы единственности решений справедливым будет такое, которое удовлетворяет:

этим уравнениям;

граничным условиям.

Уравнение Пуассона применяют при исследовании потенциальных полей (электрических и магнитных) с 1820 г.

Уравнение Лапласа (1780 г.) первоначально было применено для описания потенциальных полей небесной механики и впоследствии было использовано для описания электрических полей.

Вопросы:
Напишите уравнения электростатического поля и объясните их физический смысл.

Сформулируйте закон Кулона для точечных тел и напишите его математическое выражение.

Объясните физический смысл напряженности электрического поля.

Что такое электрический потенциал?

Что такое равномерное и неравномерное электрические поля?

Что называется потоком вектора напряженности электрического поля?

Сформулируйте теорему Гаусса.

В чем заключается физический смысл электрической индукции.

Какими характерными свойствами должны отличаться задачи, которые можно решить на основе уравнений электромагнитного поля, записанных в интегральной форме?

Зависит ли входящий в правую часть уравнения µ § магнитный поток от электрического тока, индуцируемого этим потоком.

Почему потенциал связывают с напряженностью поля соотношением E = - grad ц, а не соотношением E = grad ц ?

Какой должна быть форма проводящего тела, обеспечивающего условие постоянства потенциала в объеме V?

Удовлетворяет ли уравнениям Лапласа и Пуассона потенциал электростатического поля в а) неоднородной среде, б) однородной среде?

Лекция 2
Граничные условия на поверхности раздела двух диэлектриков. Емкость. Энергия электростатического поля.


1. Граничные условия.
Под граничными условиями понимают условия, которым подчиняется поле на границах раздела сред с разными электрическими свойствами.

Можно провести параллель между ролью граничных условий в электрическом (или любом другом) поле и ролью начальных условий и законов коммутации при переходных процессах.

При интегрировании уравнений Лапласа или Пуассона в решение входят постоянные интегрирования. Их определяют исходя из граничных условий.

2. Условия на границе раздела двух диэлектриков.


На границе раздела двух диэлектриков с различными диэлектрическими проницаемостями выполняются два следующих условия:

Равны тангенциальные составляющие вектора напряженности поля:

Е1ф=Е2ф (1.15)

Равны нормальные составляющие вектора электрической индукции:

D1n=D2n (1.16)

Первое условие вытекает из того, что в потенциальном поле

µ §.

Докажем условие (1.15). С этой целью на границе раздела диэлектриков с е1 и е2 выделим плоский замкнутый контур abcda и составим вдоль него циркуляции вектора µ §.



Длину ab=cd обозначим через dl так, что ab=cd=dl.

Контур возьмем так, что ac=db<

µ §

Составляющими интеграла µ § вдоль вертикальных сторон в силу их малости пренебрегаем.



Составляющая µ § на пути ab равна:

µ §,


по пути cd:

µ §.Знак (-) появился потому, что элемент длины пути cd и касательная составляющая вектора µ § направлены в противоположные стороны (cos 1800=-1).

Таким образом, µ §=E1ф - E2ф =0 или E1ф = E2ф, т. е. касательная (тангенциальная) составляющая вектора µ § непрерывна на границе раздела двух сред. Используя связь между µ § и µ §, получим:

µ § µ § µ § (Условие преломления линий Dф при переходе из одной среды в другую).

Тангенциальная составляющая вектора электрического смещения на границе сред испытывает разрыв.

Разделив граничные условия е1Е1n= е2Е2n на граничные условия е1Е1ф= е2Е2ф получим:


µ §;
µ §.

2. Второе условие представляет собой обобщенную теорему Гаусса.

Убедимся в справедливости второго условия.

С этой целью на границе раздела двух сред выделим очень малых размеров параллелепипед. Внутри выделенного объёма свободных зарядов нет, а есть только связанные заряды и поэтому


µ §.Поток вектора µ § через верхнюю грань площадью dS

µ §.


Через нижнюю грань

µ §cosб


µ §.

Следовательно:

µ §

или


D1n=D2n.

Учитывая связь между векторами µ § и µ §, получаем, что нормальная составляющая напряжения электрического поля µ § изменяется при переходе через границу обратно - пропорционально диэлектрической проницаемости:

е1E1n=е2E2n µ § µ §.

При наличии на границе раздела двух сред свободных зарядов поверхностной плотностью д (это встречается очень редко):

µ §

D1n-D2n=д,



т.е. при наличии на границе раздела двух сред свободных зарядов нормальная составляющая вектора µ § скачком изменится на величину плотности свободных зарядов на границе раздела.

Но потенциал ЁC это работа. На границе раздела двух сред потенциал не претерпевает скачков; он непрерывен:

ц1 = ц2 .
3. Поле внутри проводящего тела в условиях электростатики.

В проводящем теле, находящимся в электростатическом поле, вследствие явления электростатической индукции происходит разделение зарядов.

Отрицательные заряды смещаются на поверхность тела, обращенную в сторону более высокого потенциала, положительные ЁC в противоположную сторону.

Внутри проводящего тела напряженность поля равна 0 (µ §),т.к внешнее поле компенсируется полем зарядов,расположенных на поверхности тела.

Все точки тела будут иметь µ §, т.е. поверхность тела эквипотенциальна.

Если между какими ЁC либо точками возникла бы разность потенциалов, то под действием её возникло упорядоченное движение электрических зарядов, т.е. электрический ток, что противоречило бы понятию электростатического поля.


4. Условия на границе проводящего тела и диэлектрика.
Если одна из сред ЁC проводящая, то граничные условия изменятся. В проводящей среде векторы поля равны нулю, а потенциал всех точек проводника один и тот же.

Пусть


1ая среда ЁC диэлектрик с проницаемостью ѓХ.

2ая среда ЁC проводник.

Тогда граничные условия запишутся следующим образом:

µ §; µ §. µ §

µ § или µ §

µ § или µ § Ничего не меняется, если проводящее тело будет полым ЁC во всей полости тела поле так же будет отсутствовать. Этим обстоятельством широко пользуются для электростатического экранирования, т.е. для защиты различных устройств от воздействий внешних электрических полей. С этой целью устройства помещают в замкнутые металлические оболочки, называемые экранами.

Подобную экранирующую роль играет защитная оболочка кабелей. Поле, существующее между отдельными жилами кабеля, не выходит за пределы оболочки и этим исключается электростатическое влияние кабеля на близлежащие провода линии связи.
5. Задачи электростатики и методы их решения.
Прямой задачей электростатики является нахождение поля по заданному закону распределения заряда. Если плотность заряда в каждой точке пространства известна, то потенциал как функция положения определяется уравнением Пуассона, решение которого имеет вид:

µ §.


Поле находится как градиент потенциала µ §.

Обратная задача ЁC выявление зарядов по известному полю ЁC сводится к дифференцированию µ §.

Однако большей частью задача оказывается значительно сложнее. Обычно рассматривается система заряженных проводящих тел, окруженных диэлектриком, в котором отсутствуют объемные заряды. Заданы либо потенциалы всех тел ѓЪ1,ѓЪ2,...,ѓЪk, либо полные заряды тел: q1,q2,ЎK,qk. Распределение же зарядов по поверхности каждого тела неизвестно и подлежит определению. В этом и заключается основная трудность задачи. Также неизвестным является и распределение потенциала в пространстве. Особенно усложняется задача для неоднородной и анизотропной среды.

1) (q=0) Если в диэлектрике нет зарядов, то потенциал искомого поля подчиняется уравнению Лапласа. Совокупность всех проводящих поверхностей образует границу области существования поля, на которой, как известно

µ §.

Это равносильно следующим граничным условиям для потенциала, легко получаемым отсюда с помощью µ §:



µ §

2) (q„j0) Если по условию задачи известны полные заряды тел, то для каждого тела должно быть удовлетворено условие:

µ §

Можно показать, что выполнение этих требований не только необходимо, но и достаточно, чтобы задача была решена единственным образом. Это важное положение часто называют теоремой единственности. Из теоремы единственности вытекают два следствия, имеющие важное практическое значение.



Первое следствие. Электростатическое поле (и соответствующее ему решение) в некотором объеме, ограниченном равнопотенциальными поверхностями, не изменится, если эти поверхности станут проводящими, т.е. превратятся в границы проводников, которым сообщены соответствующие потенциалы.

Второе следствие. Электростатическое роле по одну сторону поверхности S (необязательно равнопотенциальной) не изменится, если по другую сторону этой поверхности изменить параметры среды и распределение зарядов так, чтобы сохранились граничные условия на поверхности S.


6. Плоскопараллельное поле.

Задача расчета весьма упрощается, если все величины, характеризующие поле, зависят только от двух координат. Такому условию удовлетворяет поле системы из нескольких бесконечно длинных параллельных друг другу цилиндрических проводов с зарядами, равномерно распределенными по их длине. Диэлектрик будем предполагать однородным. Направим ось OZ параллельно осям проводов. Тогда все линии напряженности поля будут лежать в плоскостях, параллельных плоскости XOY. Картина поля во всех этих плоскостях одинакова и

достаточно только исследовать поле в плоскости XOY. Поле такого вида называется ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНЫМ полем.

Потенциал плоскопараллельного поля есть функция только двух координат: x и y. Поверхности равного потенциала суть цилиндрические поверхности с образующими, параллельными оси OZ. Линии равного потенциала в плоскости XOY определяются уравнениями вида: ц (х, у) = const.

Линии равного потенциала строятся таким образом, чтобы при переходе от любой линии к соседней всегда получать одинаковые приращения Дц потенциала.

Линии напряженности, как известно, всюду перпендикулярны поверхностям равного ц. Их проводят таким образом, чтобы при переходе от любой линии к соседней всегда получать одно и то же приращение потока вектора µ §.


7. Поле 2х разноименно заряженных осей.
Пусть в однородном диэлектрике находятся две параллельные бесконечно длинные оси, равномерно и разноименно заряженные с линейной плотностью ф. Требуется определить потенциал поля и выяснить какую форму имеют равнопотенциальные поверхности и линии напряженности.
Потенциал заряженной оси в некоторой (·) М равен:

µ §.


Потенциал в (·) М отстоящей на расстоянии R2 ЁC от отрицательной, получится как сумма потенциалов от отдельных осей.

µ §


Из этого выражения следует что потенциал обращается в 0 при R1=R2, т.е. в точках, лежащих на перпендикуляре к отрезку, соединяющего заряженные оси (ось ординат).

Уравнение линии равного потенциала имеет вид :

µ § или µ §.

Покажем, что линии равного потенциала ЁC это окружности с центром по оси ОХ.

Имеем:

µ §


(b-x)2+y2=k2[(b+x)2+y2]

b2-2bx+x2+y2=k2(b2+2bx+x2+y2)

(1-k2)x2-2(1+k2)bx+(1-k2)y2=-b2(1-k2) | : (1-k2)

x2-2µ §bx+y2=-b2

Прибавим с каждой стороны µ §

x2-2µ §+y2+µ §=-b2+µ §

Правая часть:

µ §


Отсюда:

µ §.


Полученное выражение есть уравнение окружности с координатами центра:

(х-х0)2+(у-у0)2=R2

µ §, y0=0 и радиусом µ §.

При k>1 окружность охватывает положительный заряд (R2>R1).

µ § B ЁC знаменатель геометрической прогрессии.

Определим характер линий поля. Одна из них очевидна ЁC это прямая, соединяющая следы осей. Вообразим плоскую площадку длиной у, а шириной, равной единице (по нормам к плоскости чертежа).

По теореме Гаусса µ §, для цилиндра l=1 µ § (шЕ ЁC поток вектораµ § сквозь поверхность).

Тогда через площадку ток равен µ §. Равен доле , которую составил в по отношению к 2р .


Итак, площадка пронизывается следующими потоками электрического поля:

от оси с зарядом +ф µ §

от оси с зарядом ЁCф µ §.

Полный поток, пронизывающий площадку, равен:

µ §.

Уравнение любой линии напряженности поля имеет форму:



µ § или µ §.

Геометрическим местом точек, удовлетворяющих этому условию будет окружность, проходящая через следы осей +ф и ЁCф.

Центр окружности лежит на оси OY µ § равносильно и=const. Он остаётся постоянным как угол, под которым виден отрезок QP. µ §
т.к. измеряются одной дугой, на которую он опирается. Вписанный угол измеряется Ѕ дуги, на которую он опирается:

µ §.


Чтобы разделить поле на трубки равного потока, следует при переходе от любой линии напряженности к соседней изменять угол и на постоянную величину.8. Ёмкость.
Если два каких ЁC либо проводящих тела разделены диэлектриком и несут на себе равные по величине и противоположные по знаку заряды q1=q2=q,то в пространстве между ними создаётся электрическое поле. Пусть ц1 ЁC потенциал первого тела, ц1 ЁC второго.

Под ёмкостью С между этими телами понимают абсолютную величину отношения заряда на одном из тел к напряжению между телами.

µ § измеряется в фарадах. Размерность µ §.

Устройства, предназначенные для получения определённой величины ёмкости, называются КОНДЕНСАТОРАМИ. Однако не следует думать, что ёмкостью обладают только специально созданные для её получения устройства.

Ёмкостью обладают любые два проводящих тела, разделённые диэлектриком.

Т.к. напряжение между телами в электростатическом поле может быть линейно выражено через заряд q, то отношение q/U оказывается независящим ни от q, ни от U (исключение составляют устройства, в которых используют сегнетоэлектрики ЁC вещества у которых е=f(E) ).

Ёмкость зависит только от конфигурации тел, их размеров, от расстояния между телами, от электрических свойств диэлектрика е.

9. Определение ёмкости по картине поля.

Заряд тела равен, согласно постулату Максвелла, полному потоку смещения сквозь сечение всех трубок поля, начинающихся на теле. Если число трубок равно m1 , то q=m1 шD. Разность потенциалов между двумя телами равна:

µ §,


где m2 ЁC число интервалов между соседними линиями равного потенциала.

Таким образом: µ §.

Если обозначить средние размеры ячеек :

a ЁC по направлению линии равного ц.

n ЁC по направлению поля µ §.

m1 и m2 ЁC находят из построенной картины поля.

10. Поле и ёмкость двухпроводной линии.
Провода реальной линии передачи имеют конечные сечения. Распределение электрического заряда по поверхности проводов при этом зависят от формы их сечений и будет неравномерным даже для проводов круглого сечения. Последнее утверждение становится очевидным, если принять во внимание притяжение зарядов разного знака, расположенных на прямом и обратном проводах. Поверхностная плотность заряда должна иметь максимум в точках двух проводов, находящихся на кратчайшем расстоянии друг от друга.

Распределение заряда по поверхности проводов неизвестно, что весьма осложняет задачу. Однако в важном частном случае для проводов круглого сечения задача может быть решена точно, если заметить, что в поле 2х линейных проводов все поверхности равного потенциала являются поверхности круглых цилиндров. Всегда можно расположить оси линейных проводов так, чтобы две поверхности равного потенциала совпали с поверхностями реальных проводов.

Поле внутри металлических проводов будет отсутствовать. Поле же в диэлектрике при такой замене реальных проводов эквивалентными им линейными остаётся без изменения, т.к. при этом удовлетворяется основное граничное условие постоянства потенциала на поверхности провода. Таким образом, задача расчета поля двух проводов круглого сечения сводится к отысканию положения эквивалентных им линейных проводов или, как говорят, к нахождению электрических осей проводов.

Обозначим через D ЁC расстояние между геометрическими осями проводов и через µ § - расстояние от геометрической оси до плоскости нулевого потенциала. Пусть х0 и R - координаты центра и радиуса окружности равного потенциала, совпадающей с окружностью сечения провода.Имеем µ § и R0=R и согласно выражениям для µ § и R0 получаем:

µ § µ §.

Отсюда не трудно убедиться, что µ § т.к. µ §. Эта формула и даёт возможность определить положение электрических осей по заданному расстоянию D=2h между геометрическими осями и радиусу R сечения проводов.

Нас интересует разность потенциалов цилиндров. Для определения потенциалов цилиндров выберем на их поверхности точки, например, наиболее близкие друг к другу точки А и В.

Потенциал положительно заряженного провода:

µ §

Потенциал отрицательно заряженного провода:



µ §

Тогда:


µ §,

т.к. µ §, то

µ §.

Для проводов, подвешиваемых на опорах ВЛ (h+bЎЦD, h-b«R), обычно R«D, тем более (h-b)«R и величиной (h-b) можно пренебречь по сравнению с R , т.е можно принять, что электрические оси проводов совпадают с геометрическими. Таким образом, получим для ёмкости на единицу длины:



µ §

Здесь необходимо сделать следующее замечание. Известно, что при наличии переменного магнитного поля электрическое напряжение между токами зависит от формы пути, соединяющего эти точки. Однако в длинных линиях переменного тока любой частоты линии µ § лежат в плоскостях поперечного сечения; контур, лежащий в этой плоскости, не пронизывается переменным магнитным потоком, поэтому циркуляция вектора µ § вдоль такого контура равна нулю, т.е. электрическое поле имеет потенциальный характер. Это и даёт возможность говорить об однозначном мгновенном напряжении между проводами.


11. Поле и ёмкость параллельных несоосных цилиндров.
Решенная в предыдущем разделе задача для двух линейных проводов даёт возможность найти поле между двумя параллельными несоосными цилиндрами, имеющими круглые сечения различных радиусов R1 и R2 .
Действительно всегда можно так расположить оси линейных проводов, чтобы в их поле две поверхности равного ц совпали с поверхностями заданных проводящих цилиндров.

Пусть D ЁC расстояние между геометрическими осями цилиндра, h1 и h2 ЁC расстояние от геометрических осей до плоскости постоянного (нулевого) потенциала,b ЁC расстояние от электрических осей до этой плоскости. Согласно формуле µ §, справедливой для каждого провода, имеем:

µ § или µ §.

В соответствии с рис. 26 µ § и, следовательно:

µ §.

В этом случае:



µ §µ § µ §;

µ § µ §


µ §

µ §


12. Цилиндрический проводник в цилиндрическом канале.
h2-h1=D и, следовательно,

µ §;


µ § , µ §;

Из этих формул определяется положение плоскости нулевого потенциала и из формулы µ §находится положение электрических осей, т.е. эквивалентных линейных проводов.

µ § µ §

µ §µ §
Вопросы:


Что понимается под граничными условиями?

Какой практический смысл несет вопрос об изменении электрического поля на границе раздела двух диэлектриков?

В каком виде можно записать граничные условия для поверхности раздела двух диэлектриков с различными диэлектрическими проницаемостями?

В каком виде можно записать граничные условия для поверхности раздела двух сред с различными удельными проводимостями?

Дайте толкование электрической емкости между двумя телами и емкости уединенного тела.

Могут ли при переходе через границу раздела двух сред с различными µ § полные значения µ § и µ § изменяться скачками?

Как можно определить энергию поля системы заряженных тел через их заряды и потенциалы?
Лекция 3
Формулы Максвелла для определения потенциалов, зарядов и емкостей в системе проводников.
1. Метод зеркальных изображений.
Расчет поля заряженных проводников, расположенных вблизи плоских поверхностей, ограничивающих проводящую среду, сводится при помощи метода зеркальных изображений к расчету поля нескольких проводников при отсутствии проводящей среды.

Рассмотрим поле прямолинейного провода, расположенного на расстоянии h от плоской поверхности проводящей среды. Это соответствует, например, проводу, подвешенному на высоте h над поверхностью земли.

Все линии напряженности поля, начинающиеся на положительно заряженном проводе, заканчиваются у поверхности проводящей среды, где появляется индуктированный отрицательный заряд. Поле определяется как зарядом провода, так и всем зарядом, расположенным по поверхности проводящей среды. Распределение индуктированного заряда из условий задачине известно и также подлежит определению.

Устраним мысленно проводящую среду и заменим ее проводом, являющимся зеркальным изображением реального провода к поверхности раздела и имеющим заряд той же величины, что и заряд реального провода, но противоположного знака. Действительный провод и его зеркальное изображение составляют двухпроводную линию, поле которой изображено на рис. Из рис. 28 видно, что плоскость, расположенная посередине между действительным проводом и его зеркальным изображением, является поверхностью равного потенциала. В действительных условиях поверхность проводящей среды как раз совпадает с этой поверхностью и также является поверхностью равного потенциала. Отсюда следует, что заменить проводящую среду зеркальным изображением провода с изменением знака заряда, то в области над проводящей средой поле остается таким же, как в действительных условиях. В этом и заключается метод зеркальных изображений.

2. Емкость двухпроводной линии с учетом земли.
Два длинных тонких провода радиусом R протянуты параллельно поверхности земли. Расстояние между поводами ЁC D, высота подвеса h1 и h2. Пусть заданы постоянные линейные плотности заряда каждого провода ф 1 и ф 2.

Требуется определить потенциалы проводов

Пользуясь методом зеркальных изображений можно убрать землю из этой задачи, т.е. принять, что параметры нижнего полупространства одинаковы с параметрами верхнего полупространства и так разместить изображения, чтобы сохранилось прежнее граничное условие ц= 0. В данном случае в качестве изображений следует взять два проводника, расположенных под поверхностью раздела, симметрично верхним проводникам и несущим заряды -ф1 и -ф2 на единицу длины.

В результате получается две пары разноименно заряженных осей ± ф1 и ± ф2 в однородной среде. Потенциал поля одной пары можно найти по формуле:

µ §

где R2 ЁC расстояние от точки, в которой определяется поле до отрицательно заряженной оси;



R1 ЁC расстояние от точки, в которой определяется поле до положительно заряженной оси.

Если рассматривать отрезок линии длиной l и соответствующий заряд q=фl, то

µ §.

Потенциал ц1 точки на поверхности первого провода получится как сумма потенциалов от собственной пары заряженных осей, для которых R2=2h1; R1=R и от соседней пары заряженных осей (для них R2=d;R1=D). µ §



Потенциал точки на поверхности второго провода, удалённой от первой пары осей на расстоянии R2=d; R1=D , а отсобственной, второй пары на расстоянии R2=2h2, R1=R.

µ §


Множители при зарядах q1 и q2 называются ПОТЕНЦИАЛЬНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. В данном случае собственные потенциальные коэффициенты можно определить:

µ § µ §,


а взаимные потенциальные коэффициенты:

µ §


Эти коэффициенты всегда положительны и имеют размерность µ §.

Если наоборот, заданы потенциалы проводов, то заряды могут быть найдены из уравнений:

µ §,

µ §.


Множители при потенциалах ц1 и ц2 называются ЁМКОСТНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. В данном случае собственные ёмкостные коэффициенты

µ § µ §


всегда положительны. Взаимные ёмкостные коэффициенты:

µ §,


всегда (-), т.к. наведённый заряд противоположен по знаку заряду проводника, возбуждающего поля.

Более удобными для практики оказались уравнения с так называемыми частичными ёмкостями. Эти уравнения связывают заряды проводников с напряжением между ними в соответствии со схемой.

µ §,

µ §.


Раскрываем скобки:

µ §,


µ §.Сравнивая последние уравнения с уравнениями через ёмкостные коэффициенты, можно найти частичные ёмкости:

µ §µ §; µ §; µ §.

Откуда:

µ §;


µ §.

Если к проводам подведено напряжение µ § от незаземлённого источника, то провода заряжаются так, что q1=-q2=q. В этом случае можно говорить о рабочей ёмкости линии µ §, которую нетрудно выразить через потенциальные коэффициенты

µ §

Отсюда:


µ §.

Рабочая ёмкость равна эквивалентной ёмкости между проводами:

µ §.

Определим, пользуясь этой формулой, ёмкость 2х проводной линии, провода которой подвешены на одинаковой высоте h от земли и на расстоянии D друг от друга. Радиусы проводов одинаковы и равны. Согласно формулам, полученным выше, имеем:



h

µ §,


µ §.Следовательно:

µ §.


Если высота подвеса h много больше расстояния между проводами D, то

µ § и µ §.

т.е. получаем формулу, выведенную ранее без учета влияния земли.
Вопросы:
Объясните физический смысл коэффициентов электростатической индукции.

Запишите систему уравнений, устанавливающих связь между зарядами тел и их потенциалами.

Объясните физический смысл частичных емкостей. Как определить их опытным путем?

Как определить плотность связанных зарядов на границе раздела двух диэлектриков, полагая известными вектор µ § на границе и значения µ § и µ § диэлектриков?

В системе двух проводящих тел тело µ § заряжено. Тело µ § не имеет заряда. Объяснить, будут ли отличаться потенциалы тел и почему напряженность электрического поля внутри тел µ § и µ § равна нулю. Изобразить качественно картину распределения зарядов на поверхности этих тел.

Могут ли быть комплексными а) коэффициенты электростатической индукции, б) потенциальные коэффициенты, в) частичные емкости?

Возрастает ли емкость двухпроводной линии при увеличении высоты подвеса проводов над поверхностью земли.

РАЗДЕЛ 2
Лекция 4


Ротор (вихрь). Дифференциальная форма условия потенциальности электростатического поля. Электрическое поле постоянного тока. Законы Ома, Кирхгофа и Джоуля- Ленца в дифференциальной форме. Уравнение Лапласа для электрического поля в проводящей среде. Граничные условия на поверхности раздела двух проводящих тел.
1. Электрическое поле постоянного тока (стационарное электромагнитное поле)
Рассмотренное электростатическое поле есть поле неподвижных зарядов. Теперь мы рассмотрим стационарное электромагнитное поле, существующее при наличии постоянного тока.

Свойство среды, характеризующее ее способность проводить ток, называется удельной проводимостью µ §. Удельная проводимость зависит от физических свойств проводящего материала, от температуры и имеет размерность µ §.

Основной величиной в электрическом поле проводящей среды является плотность тока µ §. Это векторная величина, направленная по напряженности поля и связанная с током:

µ §


Ток ЁC это поток вектора плотности тока. В отличие от плотности тока ток является скаляром.

При протекании постоянных токов внутри проводящих тел, так и вне их, существуют постоянные (неизменные во времени) магнитные поля. Так как эти поля неизменны во времени, то в поле не возникает явления электромагнитной индукции, то есть магнитное поле, созданное постоянным током, не оказывает влияния на поле постоянного тока. Поэтому электрическое и магнитное поля можно рассматривать отдельно.

µ §, µ §

Система уравнений электромагнитного поля в этом случае принимает вид:

µ §

µ §


µ §
µ §µ §

µ §


µ §В этой системе выделены 2 основные группы уравнений, одна из которых включает электрические векторы, а другая ЁC магнитные. Оставленный посередине закон Ома играет роль связующего звена между ними.

2. Закон Ома в дифференциальной форме


рис. 2.1
Выделим в проводящей среде небольшой параллелепипед объемом µ §. Длина ребра параллелепипеда µ §. Площадь поперечного сечения µ §. Расположим параллелепипед так, чтобы напряженность поля была направлена параллельно ребру.

В силу элементарности объема можно считать, что µ § одна и та же во всем элементарном объеме:

µ §; µ §, где µ § - единичный вектор по направлению µ §, µ §, µ §.

Ток:

µ § (2.1)



Сопротивление элемента объема:

µ § (2.2)

Напряжение на элементе объема:

µ § (2.3),

Так как µ §, то подставим в (2.3) Ўж (2.1,2.2).

µ §, µ §.

Откуда

µ § (2.4)



(2.4) - закон Ома в дифференциальной форме.

Уравнение (2.4) справедливо для областей вне источников ЭДС.

В областях, занятых источниками ЭДС, кроме кулонова (электростатического) поля, существует так называемое стороннее электрическое поле, обеспечивающее непрерывное движение зарядов в электрической цепи. Под сторонним электрическим полем понимают поле не электростатической природы (например, обусловленное химическими, электрохимическими, тепловыми, термомеханическими, механическими процессами).
3. Закон Ома для областей занятых источниками ЭДС
µ §

- обобщенный закон Ома в дифференциальной форме или второй закон Кирхгофа в дифференциальной форме, где µ § - геометрическая сумма напряженностей кулонова и стороннего полей.


4. Дифференциальная форма закона Джоуля-Ленца
Мы знаем, что если по какому-либо проводнику сопротивлением R протекает постоянный ток, то в единицу времени (в секундах) в нем выделяется энергия µ §.

Определим энергию, выделяющуюся в единице времени в единицу объема проводящей среды:

µ §
5. Электрическое поле постоянного тока в диэлектрике
Условие µ § свидетельствует, что вне источника ЭДС, электрическое поле постоянных токов является безвихревым, так же как и электростатическое поле. Такое поле является потенциальным, то есть для его характеристики может быть введена функция координат µ §, называемое электрическим потенциалом, причем µ §.

При отсутствии токов в диэлектрике следует положить в нем µ §, то поле в диэлектрике характеризуется уравнениями:

µ §, то есть µ §, µ §, µ §.

Для однородной среды, когда µ §, эти уравнения дают µ §или µ §, то есть потенциал удовлетворяет уравнению Лапласа.


рис.2.2
Таким образом, в диэлектрике поле токов ничем не отличается от электростатического. Однако граничные условия на поверхности проводников уже не соответствуют тем, которые имеют место в диэлектрике.

6. Граничные условия


В электростатическом поле поверхность проводника является поверхностью равного потенциала. При прохождении по проводнику тока, в проводнике возникает падение µ §, и, следовательно, поверхность проводника уже не будет равнопотенциальной. Линии µ § в диэлектрике подходят к поверхности не под прямым углом, так как на поверхности проводника появляется касательная составляющая напряженности поля в направлении линии тока. С принципиальной точки зрения указанное обстоятельство существенно осложняет расчет поля, однако практически во многих случаях его можно не учитывать, так как обычно падение напряжения вдоль проводников по длине, сравнимой с расстоянием между проводниками, ничтожно мало по сравнению с разностью потенциалов проводников.

Сравним µ § и µ §. Касательная составляющая представляет собой падение напряжения, отнесенное к единице длины провода, и может быть определена µ §.

Пример: для медных проводов

µ §=5,8107 См/м;

µ §=5106 А/м2; получим µ §В/м

Нормальная составляющая зависит от напряжения между проводами и расстояния µ § между ними. Так как поле между проводами неоднородно и наиболее сильное поле сосредоточено около проводов, то µ §›µ §

U=100 В; В==10 См, µ §

При этом µ §›1000В/м, и следовательно, µ §›104

Полученные цифры показывают, что составляющая µ § мала по сравнению с µ § и при рассмотрении поля около проводов ею можно пренебречь. В таком случае граничные условия на поверхности проводников оказываются тождественными условиям в электростатике. По этому при рассмотрении электрического поля в диэлектрике, окружающем проводники с постоянными токами, можно использовать решения, полученные при рассмотрении соответствующих электростатических задач.
7. Электрическое поле в проводящей среде
Внутри проводников, по которым проходит электрический ток, также соответствует электрическое поле. Напряженность электрического поля в изотропной среде связана с плотностью тока соотношением:

µ §


В изотропной среде направление линий µ § электрического тока всюду совпадает с направлением линий электрического поля. Если, кроме того, среда однородная (µ §), то густота линий тока всюду пропорциональна густоте линий напряженности электрического тока, то есть картина линий тока и напряженности поля подобны друг другу.

Если среда неоднородна в отношении проводимости, то линии тока остаются в ней непрерывными, что следует из принципа непрерывности тока, выраженного условием, µ § или µ §, которое представляет собой обобщенную форму µ § соответственно в интегральной и дифференциальной формах.

По теореме Остроградского µ §. µ § или плотность тока проводимости не имеет источников. Линии вектора µ § - замкнуты.

Внутри проводящей среды вне источников ЭДС всюду соблюдается условие µ § или µ §, что выражает в области, где нет источников ЭДС. Поле оказывается потенциальным. Поверхности равного электрического потенциала, определенные уравнением µ §, пересекаются линиями электрического поля под прямым углом, а следовательно, в изотропной среде они пересекаются под прямым углом и линиями тока.

Таким образом, электрическое поле и поле вектора плотности тока в проводящей среде вне источников ЭДС характеризуются системой уравнений

µ §, µ §, µ §.

Вопрос о пространственном распределении тока чрезвычайно важен при рассмотрении многих практических задач, например, при исследовании токов в земле, токов в массивных проводниках, токов проводимости в изоляции и так далее.

8. Граничные условия на поверхности двух проводящих сред


При переходе тока через поверхность раздела сред с различными удельными проводимостями µ § и µ § направление тока изменяется, если только линии тока не направлены нормально к поверхности раздела.

Составим линейный интеграл µ § по контуру µ §, стороны µ § и µ § которого, расположены в разных средах бесконечно близко к поверхности раздела, получим:

µ §, так как µ §, µ §,

µ §


рис. 2.3
Применяя принцип непрерывности тока к замкнутой поверхности, образованной двумя поверхностями µ § и µ §, расположенными в разных средах бесконечно близко к поверхности раздела и бесконечно малой боковой поверхностью раздела:

µ §


Имея в виду, что µ §, получим

µ §


µ §

Приняв во внимание соотношение {µ §,

µ §
Закон преломления линий тока по форме аналогичен закону преломления µ § на границе раздела двух диэлектриков.

Во многих практических случаях мы встречаемся с переходом тока из металлических тел в окружающую среду, удельная проводимость которой во много раз меньше удельной проводимости материала этих тел. Например, ток утечки через изоляцию между проводами, заземление. Во всех этих случаях при рассмотрении поля в среде с малой удельной проводимостью можно считать поверхности тел поверхностями равного потенциала.


9. Аналогия электрического поля в проводящей среде с электрическим полем
Между соотношениями, характеризующими стационарное электрическое поле постоянных токов в проводящей среде и соотношениями, характеризующими электростатическое поле в диэлектрике, можно провести формальную аналогию.

Для электрического поля токов в проводящей среде имеем:

µ §, µ §, µ §, µ §, µ §

Они формально совпадают соотношениями для электростатического поля в диэлектрике:

µ §, µ §, µ §, µ §, µ §,

если в последних заменить вектор электрического смещения µ § вектором плотности тока µ §, µ §µ §µ §; µ §µ §µ §.

В электростатической задаче границей диэлектрика является поверхность проводящего тела. Эта поверхность есть поверхность равного потенциала, и вектор µ § к ней нормален. Границей плохо проводящей среды (почвы или несовершенной изоляции) является поверхность проводников. С большой степенью точности эту поверхность можно считать поверхностью равного потенциала, и вектор µ § в плохо проводящей среде считать направлением по нормали к ней. На основании изложенного можно утверждать, что картина электрического поля токов (в почве или в изоляции) в этих задачах должна совпадать с картиной поля в соответствующих электростатических задачах.

На этом основан метод электростатической аналогии, позволяющий в ряде случаев при расчете токов в проводящей среде воспользоваться готовыми решениями соответствующих задач электростатики. Метод электростатической аналогии дает возможность также заменить исследования электростатического поля экспериментальным исследованием поля тока в проводящей среде.

В частности, формулы для электропроводимости µ §, в которых протекает ток, могут быть получены из соответствующих формул для емкости µ § тел, так как в аналогичных задачах ток µ § заменяется зарядом µ §.

Электрическая емкость тела или емкость между телами определяется геометрическими параметрами тела и диэлектрическими проницаемостями сред, окружающих тела. Поэтому, чтобы получить формулу для µ §, достаточно заменить в соответствующей формуле для µ § µ §.

Если проводящая среда и , соответственно, диэлектрик однородны, то формулу для µ § µ § входит множителем, и соответственно в формулу для емкости µ § для диэлектрической проницаемости µ § также входит множителем.

µ §


µ §

Следовательно, для аналогичных задач имеем:

µ §

10. Ток утечки в кабеле и сопротивление изоляции кабеля

рис. 2.4
Определим ток утечки µ § в кабеле, возникающий вследствие несовершенства изоляции кабеля. Сечение кабеля приведено на рисунке. Линии напряженности поля и линии тока утечки изоляции можно считать направленными по радиусу.

Проведем внутри изоляции цилиндрическую изоляцию, имеющую радиус R и длину l в направлении оси кабеля. Имеем: µ § и, следовательно,

µ §
Напряжение µ § между проводами:

µ §
Следовательно, проводимость

µ §, µ §

Пользуясь этой формулой, можно записать формулу для емкости кабеля:

µ §
11. Поле шарового электрода
Для заземления электрической цепи ее соединяют с металлическим проводником, зарытым в землю. Такой проводник называется заземлителем.

Ток, проходящий в землю через заземлитель, встречает сопротивление (сопротивление земли), которое называется сопротивлением заземления. В земле линии тока не уходят в бесконечность, а собираются у другого электрода. Вблизи от заземлителя, на поверхности земли могут возникать большие напряжения.

Исследуем поле сферического заземлителя.

Металлический шар радиусом a находится в грунте с проводимостьюµ §. К шару при помощи изолированного провода подводится постоянный ток I, который возвращается в цепь на достаточном удалении от заземления.

рис. 2.5

По условию симметрии линии плотности тока µ § вблизи заземлителя будут направлены радиально. На расстоянии R от центра шара µ §

По закону Ома:

µ §


Экспотенциальными поверхностями будут концентрические сферы.

Напряжение между произвольной точкой M и точкой, которая находится на поверхности заземлителя:

µ §

При увеличении µ §



µ § ЁC напряжение растекания.

µ § ЁC сопротивление растеканию.

µ § ЁC сопротивление заземлению, сопротивление заземления.

2. Если электрод расположен близко от поверхности земли, то линии тока искажаются. В этом случае можно пользоваться методом зеркальных изображений.

рис. 2.6

Линии тока у земли должны быть к ней касательны. Это условие останется удовлетворенным, если мысленно заполнить воздушное пространство над поверхностью земли проводящей средой с такой же, как у земли удельной проводимостью µ § и поместить в эту среду электрод, являющийся зеркальным изображением действительного электрода относительно поверхности земли.

Ток, выходящий из мнимого электрода, должен быть равен по величине и по знаку току, выходящему из действительного электрода в землю. Проводимость заземления для действительного электрода, очевидно, равна половине проводимости системы, образованной электродом и его зеркальным изображением.

3. Проводимость в случае электрода в форме полушария, расположенного у поверхности земли:

рис. 2.7
µ §

Пример расчета. Полусферический заземлитель µ §м погружен в землю, удельная проводимость которой µ § 1/Омм ток короткого замыкания I=100 А стекается через заземлитель в землю и собирается у другого электрода.

рис. 2.8
Определитель:

Сопротивление растеканиюµ §.

Напряжение шага, под которым может оказаться человек, приближающийся к заземлителю, считать µ § считать равной 1 м.
Решение:

µ §; µ §


µ §

Предельное напряжение называется напряжением растекания.

µ §. µ §

µ § В


Вопросы:
Каково значение величины rot H в однородном магнитном поле?

Является ли функция div D векторной?

Свободные заряды в некотором объеме отсутствуют, так что div D = 0. Справедливо ли равенство div E = 0 в точках объема, если среда а) однородна б) неоднородна?

При каком характере распределения в пространстве электрического тока и заряда величины rot H, div D теряют смысл?

Чему равна функция grad ц внутри проводящего тела?

РАЗДЕЛ 3
Лекция 5


Магнитное поле постоянного тока. Магнитный поток и его непрерывность. Закон полного тока в дифференциальной форме. Скалярный и векторный магнитные потенциалы. Энергия магнитного поля.
1. Магнитное поле постоянных токов
В основе расчета МП постоянных токов лежит случайная система уравнений в интегральной форме: 1. µ §; 2. µ §; 3. µ §.

Уравнения МП постоянных токов в дифференциальной форме имеют вид:

1)µ §; 2)µ §; 3) µ §.

Первое уравнение свидетельствует о том, что МП тока является вихревым. Следовательно, там, гдеµ §, нельзя указать такую скалярную функцию координат µ §, градиент которой пропорционален векторуµ §, так как из-за тождества

µ §,

при этом оказалось бы всюду µ §



Скалярный потенциал МП: иными словами вихревое поле не является потенциальным.

Однако в этой части пространства, где µ §, имеем µ § и, следовательно, в этой части пространства можно представить µ § в виде:


рис. 3.1
µ §

Величину µ § называют скалярным потенциалом магнитного поля. Индекс «M» ставим, чтобы отличить магнитный потенциал от электрического.

Потенциал одинаков во всех точках поверхности, пересекаемой линиями H под прямым углом. Такую поверхность называют поверхностью равного магнитного потенциала.

Ее уравнение имеет вид:

µ §.

Как было сказано, пользоваться понятием µ § можно только в той области пространства, где µ §. Однако и в этой области µ § является многозначной функцией. Чтобы показать это, рассмотрим МП около контура с током. Линейный интеграл напряженности МП, взятый по любому замкнутому контуру, не охватывающему контур с током, равен нулю:



µ §

В частности, равен нулю интеграл по пути AnBmA. Следовательно, µ § или µ § , т.е. интеграл, взятый между двумя заданными точками A и B, определяется положением этих точек и не зависит от выбора пути интегрирования между точками при условии, что замкнутые контуры, образованные двумя различными путями интегрирования, не охватывают контуры с токами.

При этом условии µ §,

можно рассматривать как разность магнитных потенциалов µ § и µ § в точках А и В.

Однако если выбрать такой замкнутый путь интегрирования, который охватывает контур i, например путь AeBmA, то линейный интеграл µ § по такому пути уже не равен нулю.

µ §,


откуда µ §.

Если контур охватывает два раза контур с током µ §, то µ §

и вообще интеграл по некоторому пути может отличаться от интеграла по пути AmBnA на ki, где k-целое число.

Таким образом, скалярный магнитный потенциал оказывается величиной многозначной.


2. Векторный потенциал магнитного поля
Пусть сформулирована следующая задача: требуется рассчитать МП в однородной среде (µ §), если задано распределение плотности тока.

µ §, иначе говоря, требуется решить систему уравнений:µ §;µ §; µ §, если плотность тока µ § задана в виде произвольной функции координат. Непосредственное решение µ § - часто является очень сложным.

Введем новую векторную функцию µ §, позволяющая исключить неизвестные векторы µ § и µ § из уравнений и получить взамен их дифференциальное уравнение, решение которого известно.

Такой подстановкой является уравнение:

µ §

Вектор µ § носит название векторного потенциала МП.



При такой замене условие µ §, выражающее принцип непрерывности магнитного потока, удовлетворяется тождественно, так как

µ §.


Теперь можно исключить µ § из уравнения:

µ §


Учитывая, что µ §, и что µ §,

получаем

µ §

В полученном выражении можно произвольно задаться значением µ §, не нарушая уравнения



µ §

µ §


В результате того, что µ §, получаем уравнение

µ §


Это уравнение совпадает по форме с уравнением Пуассона для электростатического потенциала µ §, если заменитьµ §; а µ §.

µ §


Для векторного потенциала:

µ §. (3.1)

Интегрирование произвольно по всему объему, где µ §.

R ЁC расстояние от элемента dV до точки, в которой определяетсяµ §.

Выражение (3.1) ЁC для определения µ § по заданному распределению тока в пространстве справедливо всюду, в частности и там, где µ §.

Определив µ §, можно рассчитать µ § и µ § по формулам: µ §; µ §.

Выражение (3.1) может быть упрощено, если токи протекают по контурам из линейных проводов, поперечные размеры которых весьма малы по сравнению с длиной проводников и по сравнению с расстоянием от проводников до точек, в которых определяется µ §. Представим элемент объема проводника в виде µ §, где µ § - элемент длины проводника, µ § - элемент поверхности S поперечного сечения.

Выберем направление µ § всюду так, чтобы они совпадали с направлением вектора плотности тока µ §, то есть разобьем проводник на отрезки трубок тока. При этом:

µ § и

µ §.
3. Выражение магнитного потока через векторный потенциал


Установим связь между магнитным потоком µ § сквозь некоторую поверхность S и векторным потенциалом µ § магнитного поля.

Имеем µ §

Согласно теореме Стокса

µ §


Следовательно: µ §, таким образом, µ § сквозь поверхность S равен линейному интегралу µ § по замкнутому контуру, ограничивающему эту поверхность. [A] Вб/м.

Для вычисления µ § через µ § при помощи интеграла µ § необходимо определить µ § во всех точках поверхности S. При вычислении µ § через µ § достаточно знать µ § только на контуре, ограничивающим эту поверхность. Интегрирование по поверхности заменяется интегрированием по контуру, что во многих случаях оказывается весьма полезным.

Оперирование векторным потенциалом облегчает рассмотрение ряда важных положений теории МП, также как использование скалярным потенциалом упрощает рассмотрение многих вопросов электростатики.

Если сопоставить выражение для µ § через µ § и законом полного тока ЁC видно формальное совпадение µ § и µ §

Линии вектора µ § охватывают магнитный поток подобно тому, как линии вектора µ § в однородной среде охватывают ток.
4. Граничные условия на поверхности раздела двух сред с различными магнитными проницаемостями
Если линии µ § пересекают поверхность раздела двух участков магнитной цепи, имеющих различныеµ §, под некоторым углом к нормали к этой поверхности, то на поверхности раздела линии магнитной индукции изменяют свое направление. Обе среды однородны и изотропны. Составим линейный интеграл вектора µ § по контуру abcda, стороны которого лежат в разных средах бесконечно близко

µ §


к поверхности раздела. (bc‹‹ab)

Имеем: µ §, так как сквозь поверхность, ограниченную контуром интегрирования, не проходит электрический ток. Принимая во внимание, что ab=cd, получим

µ § (3.2)

или µ §, то есть на поверхности раздела равны касательные составляющие µ §.

µ §.

Представляя себе замкнутую поверхность, образованную двумя поверхностями µ § и µ §, следы которых в плоскости рисунка ЁC линии ab и cd и цилиндрической поверхностью, пересекающей плоскость рисунка по линиям bc и cd. Магнитный поток сквозь эту поверхность равен нулю.



Следовательно,

µ §.


Приняв во внимание, чтоµ §, находим:

µ §, (3.3)

или µ §,

то есть на поверхности раздела равны нормальные составляющие вектора µ §.

Из условий на поверхности раздела для векторов µ § и µ § получим, разделив (3.2) на (3.3):

µ §;


µ §;

µ §
5. Аналогия с электрической задачей


Для магнитного поля имеем для областей, гдеµ §. Уравнения МП имеют вид:

µ §; µ §; µ §;

Для электрического поля в области, где нет свободных зарядов µ §. Уравнения электростатического поля:

µ §; µ §; µ §

Граничные условия у поверхности тела, внесенного во внешнее магнитное поле, является равенство в обоих средах нормальных составляющих вектора µ § и касательной составляющей µ §.

µ §; µ §


Для тела из диэлектрика, внесенного во внешнее электрическое поле, граничные условия имеют аналогичный вид:

µ §; µ §


Таким образом, при исследовании поля тел во внешнем магнитном поле можно воспользоваться аналогичными задачами, решенными в электростатике, заменив µ § на µ §; µ § на µ § и µ § на µ §.
Раскрытие выражения µ §

В декартовой системе координат

µ § (3.4)

В виде определителя в декартовой системе (третьего порядка):

µ §

Непосредственно раскрытие определителя показывает, что получается выражение (3.4).



В виде векторного произведения:
рис. 3.2
Формально µ § можно представить в виде векторного произведения оператора пространственного дифференцирования µ § (оператор Гамильтона) на вектор µ §, то есть µ §

µ § µ § (3.4)

В цилиндрической системе координат:

µ §


µ §

µ §
6. Задачи и методы расчета МП


Типы задач на расчеты МП.

Определение индуктивности какого-либо контура или взаимоиндуктивности двух контуров.

Определение сил, действующих в магнитном поле на проводник с током (H, на рамку электроизмерительного прибора), определение силы тяги электромагнита.

Расчет магнитных экранов.

Много различных задач на расчет МП возникает при магнитной записи звука, а также при магнитной дефектоскопии. Магнитная дефектоскопия позволяет по картине МП судить о наличии раковин, трещин и других дефектов в изделиях из ферромагнитных материалов. Широко она распространена в железнодорожном транспорте при контроле целостности рельсов железнодорожного пути.
Методы расчета.

Аналитические: метод наложения, закон полного тока в интегральной и дифференциальной формах, уравнения Пуассона и Лапласа для µ §, метод зеркальных изображений.

Графические ЁC построение картины поля или исследование поля на модели.

За последние годы был развит способ интегральных уравнений, предполагающий использование ЭВМ, значительно расширяет круг решаемых задач.


7. Магнитное поле вблизи поверхности ферромагнитных тел

рис. 3.3
Большое практическое значение имеет вопрос о характере МП в воздухе около поверхностей стальных частей трансформаторов, электромагнитов и других электротехнических устройств.

Магнитные проницаемости ферромагнитной среды сильно разнятся между собой.

Для воздуха практически µ §.

Пусть для ферромагнитной среды µ §.

В таком случае: µ §.

Как видим, поле внутри ферромагнетика почти отсутствует, а µ §.

Поэтому во всех случаях, когда магнитное поле создается токами, протекающими по проводникам, расположенными воздухе, можно считать, что линии магнитной индукции в воздухе нормальны к поверхности тел из ферромагнитных материалов.

Пример. Пусть около бесконечной плоскости, ограничивающей ферромагнитную среду, для которой примем µ §, расположен в воздухе параллельно плоскости проводника стоком µ §.

Поверхность ферромагнитной среды является поверхностью µ §, так как линии напряженности поля в воздухе к ней перпендикулярны.

При расчете ферромагнитную среду можно удалить, мысленно заменив ее током µ §, являющимся зеркальным изображением тока µ §.
рис. 3.4
В отличие от метода зеркальных изображений для расчета электростатических полей, где вводится фиктивный заряд противоположного знака, ток µ § имеет то же направление, что и ток µ §.

Например, даны: µ §, µ §, µ §, координаты точек m и n. Определить:µ §µ §, µ §.

µ §; µ §
8. Магнитное экранирование
Для защиты электроизмерительных приборов от влияния посторонних магнитных полей их системы помещают в массивные замкнутые оболочки из ферромагнитного материала.

Также оболочки называют магнитными экранами.

Поле внутри экрана оказывается ослабленным по сравнению с внешним полем.
рис. 3.5
Если экран в форме полого шара внести в равномерное магнитное поле µ §.

Внутренний и внешний радиусы экрана µ § и µ §; µ § - магнитная проницаемость материала экрана, то напряженность поля внутри экрана равна:

µ §.

Если µ § и µ §, тоµ §, то есть напряженность поля внутри поля экрана составляет 3% от напряженности внешнего поля.


рис. 3.6
В случае ферромагнитного вещества µ §››µ § и экранирующее действие определяется тем, что линии µ § - внешнего поля, стремясь пройти по пути с наименьшим магнитным сопротивлением, сгущаются внутри стенок экрана, почти не проникая в его полость.
9. Энергия магнитного поля
Энергию магнитного поля контура с током можно подсчитать по формуле, из­вестной из теории линейных электрических цепей:
µ §

µ § - магнитное потокосцепление,

µ §, т.е. для одного витка(µ §),

µ §


Чтобы определить, каким образом энергия распределяется в объеме, занятом полем, преобразуем написанное выражение. Для этого площадь µ §, ограниченную контуром, разобьем на элементарные пло­щадки µ §. Магнитный поток сквозь каж­дую площадку равен: µ §, а весь поток, сцеп­ленный с контуром.

µ §


Рис. 3.7
Построим на контурах, ограничивающих пло­щадки µ §, силовые трубки. Т.к. в маг­нитном поле линии вектора µ § всегда замкнуты, то си­ловые трубки получаются замк­нутыми. Они заполняют весь объем µ §, занятый маг­нитным полем. Если обозна­чить ось трубки ЎЄ µ §, то циркуляция вектора µ § вдоль оси лю­бой трубки будет равна току контура:

µ §.


Энергия, заключенная в объеме каждой трубки:

µ §.


Так как магнитный поток µ § в пределах одной трубки неизменен, то он не зави­сит от переменной µ §и может быть внесен под знак интеграла как постоянная величина:

µ §


Энергия, заключенная во всех трубках, равна энергии магнитного поля:
µ §
Таким образом, мы получили новое выражение для энергии магнитного поля кон­тура с током:

µ §(3.5)


Формула (3.5) справедлива и для случая нескольких контуров с током. Она позволяет определить энергию магнитного поля в самом общем случае.

Можно записать выражение (3.5) таким образом, чтобы в него вошли векторный потенциал µ § и плотность тока µ §.

Т.к. µ §, то µ § в (3.5):

µ §.


Пользуясь выражением векторной алгебры и векторного анализа:
µ §, можно записать:
µ §(3.6)
1

1 : по теореме Остроградского: µ §,

где S ЎЄ замкнутая поверх­ность, ограничивающая объем V. Так как магнитное поле занимает неограничен­ный объем, то S ЎЄ можно представить себе как шаровую поверхность бесконеч­ного ра­диуса R Вектор µ § убывает в функции расстояния не медленнее µ §, то­гда как поверхность растет не быстрее µ §.
Следовательно, при µ §

µ §.


Подставляя в (3.6) µ §, получим:
µ §ЎЄ интегрирование распространяется только на область V, занятую токами. Вне этой области µ § и величина инте­грала не изменится.

µ §


µ §

µ §.
10. Механические силы в магнитном поле.


В технике широко применяются устройства, в основе которых лежит силовое действие магнитного поля:

электродвигатели

реле

тяговые и подъемные электромагниты



электроизмерительные приборы.
Определение электромагнитной силы FM
Рассмотрим на примере взаимодействия полюсов электромагнита, полагая магнитное поле в воздушном зазоре между полю­сами равномерным.

Рис. 3.8i ЎЄ ток в обмотке электромагнита,

R ЎЄ сопротивление обмотки,

dx ЎЄ перемещение якоря электромагнита.

Работа внешнего источника энергии, к зажимам которого подключена обмотка электромагнита, расходуется в общем случае:

на выделение тепла в обмотке (µ §)

на изменение энергии в магнитном поле (µ §)

на механическую работу (µ §).


Согласно закону сохранения энергии, энергетический баланс в системе выражается уравнением:

µ §(3.7)Последние два слагаемых выражают изменение энер­гии в магнитной системе

Рассмотрим их более подробно.
Изменение энергии магнитного поля и работа электромагнитных сил определяется изменением потокосцепления

µ §.(3.8)

Здесь возможны два случая: Ш=const или i=const.

Рассмотрим случай, когда ток в обмотке электромагнита поддерживается постоян­ным. (i=const)

При уменьшении расстояния между полюсами увеличивается индуктивность, что при неизменном токе поведет за собой увеличение µ § (µ §). Внешний источ­ник должен затратить энергию на увеличение потокосцепления в количестве µ §.
Тогда энергия магнитного поля изменится на величину:

µ §,(3.9)

Что составляет половину энергии внешнего источника. Другая половина расходу­ется на покрытие механической работы µ §. Следовательно, µ §.

Отсюда:


µ §(3.10)

Таким образом, механическая сила, стремящаяся изменить положение якоря элек­тромагнита, равна увеличению энергии магнитного поля в расчете на единицу изме­рения пути (если ток в обмотке не изменяется).


11. Тяговое усилие электромагнита.


µ §

µ § ЎЄ площадь поперечного сечения полюса.

µ § ЎЄ объем, в котором распределено магнитное поле.
µ §

Согласно (3.10):

µ §.
µ §.
Вопросы:
Создается ли магнитное поле электрическим полем, а) не изменяющимся во времени, б) изменяющимся во времени по линейному закону, в) изменяющимся во времени по синусоидальному закону.

Можно ли, зная направление и значение напряженности магнитного поля в точке, указать в этой точке а) направление вектора rot H, б) значение модуля вектора

rot H?

Во всех точках некоторой области выполнено условие rot H = 0. Может ли в этой области существовать магнитное поле?




страница 1 страница 2
скачать файл


Смотрите также: