moglobi.ru Другие Правовые Компьютерные Экономические Астрономические Географические Про туризм Биологические Исторические Медицинские Математические Физические Философские Химические Литературные Бухгалтерские Спортивные Психологичексиедобавить свой файл
страница 1
Простое доказательство последней теоремы Ферма методом целевого синтеза.1
Седелев Б.В., выпускник механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова 1956 года.
Чтобы понять природу, нужно внутренне заставить ее возникнуть во всей ее последовательности.

Новалис
Простота и краткость предлагаемого доказательства, с одной стороны, и четкая последовательность процедур порождения структуры и связей объекта, свойственная разработанному автором методу целевого синтеза2, с другой стороны, послужили основанием представить материал статьи в виде этапов синтеза нового знания – от его начальной формы до целевой, раскрывающей во всей полноте сущность (природу) объекта исследования.


Доказательство последней теоремы Ферма, осуществленное в 1993-1996 гг. британским математиком Эндрю Уайлсом, имело исключительный объем: около 400 с. основного текста и 1200 с., так называемого, инструктивного текста.
Что касается формулировки теоремы, то она умещается в две строчки:

уравнение , (1)

при не имеет целых положительных решений.
Перейдем к нашему доказательству теоремы методом целевого синтеза.
Известно, в частности, – из проведенного Литлвудом анализа теоремы, что ее достаточно доказать для простых . Поэтому, в дальнейшем под будем понимать простые числа.
1. Прежде всего, убедимся, что три целых положительных числа, среди которых хотя бы два равны между собой, не могут быть решением уравнения (1) при .
Действительно, положим с этой целью либо , либо , либо , либо , где некоторое положительное целое число. Тогда в первом случае получаем , которое при не может быть целым положительным числом. Во втором случае единственно возможным значением будет 0, т.е. снова не целое положительное число. Рассуждая аналогичным образом убеждаемся, что все указанные случаи подтверждают в своей совокупности справедливость высказанного утверждения.
Это означает, что отвечающая цели доказательства область изменения переменных уравнения (1) при может быть представлена в следующем виде:

(2)
2. Вместе с тем, более адекватными задаче познания структуры и свойств уравнения (1) и существования у него целочисленных решений являются переменные , , , где целые и удовлетворяют условию:

, (3)

а значения .


Им отвечает следующая форма уравнения (1):

, (4)
3. Преобразуем уравнение (4) к полиномиальному виду –

, (5)

и будем смотреть на K и L как на произвольные, но фиксированные целые положительные величины из области (3), а на t – как на единственную переменную уравнения (5).


Именно в отношении степенных полиномов существует хорошо развитая теория, затрагивающая интересующие нас вопросы о положительности и целочисленности корней соответствующих уравнений.
4. Для давно известен метод определения целых положительных решений уравнения (1) во всей их полноте. Однако его специальный характер практически ничего не дал для решения общей задачи.
Целью развиваемого нами метода для является обоснование такой его формы, которая, с одной стороны, с очевидностью установила бы существование конкретных решений, а с другой – вскрыла бы сущность возможного подхода к общей проблеме.

5. Для любого полинома с коэффициентом и остальными целыми коэффициентами известно следующее необходимое условие существования целого положительного корня уравнения : если такой корень существует, то он равен одному из целых положительных делителей коэффициента (включая 1 и сам свободный член).


Поскольку из существования чего-либо следует его возможность, то дальнейшее доказательство теоремы будем проводить относительно возможности-невозможности существования целых положительных корней уравнения (5) при и . При этом, в первом случае корни могут иметь либо форму самих алгебраических делителей свободного члена уравнения, либо производных от возможных делителей конкретных решений – ведь существует (в конкретном виде) только то, что возможно (в общем виде).
В первом случае уравнения

(6)

делителями являются –

1, , , (7)
Убедимся, что первые два из них не могут быть целыми положительными , обращающими в тождество уравнение (4) при :

, (8)

где K и L удовлетворяют условию (3).


Действительно, подставим 1 в уравнение (8), тогда –

  • левая часть уравнения: (9)

  • правая часть:

что указывает на противоречие.
При подстановке имеем –

  • левая часть уравнения: (10)

  • правая часть:

что также приводит к противоречию.
Для третьего делителя последовательно получаем:





,
В результате уравнение (8) принимает следующий вид –

(11)
Этим доказана возможность существования целых положительных решений уравнения (8), отвечающих делителю , где и удовлетворяют следующему конкретному случаю условия (3): .

Для четвертого делителя будем иметь:



, или –

, следовательно –

, откуда –

.
В том же частном случае условия (3), что и для третьего делителя, а именно для и при получаем . Подставляя их вместо и , приходим к тождеству , которое после умножения обеих его частей на превращается в полный аналог формулы (11):
Тем самым, доказана возможность существования целых положительных решений уравнения (8), отвечающих обоим данным делителям.
6. Покажем, что дальнейшее оперирование с третьим и четвертым делителями и условием (3) порождает в случае конкретизации их возможных численных вариантов следующее счетное множество различных целых положительных решений уравнения (8).
Итак, для делителей и , конкретного вида условия (3) – и значения будем иметь в качестве – конкретный делитель обоих указанных делителей и следующее (уже знакомое нам) тождество .
При том же условии и будем иметь в качестве – конкретный делитель тех же делителей и , что дает – .
Аналогично получаем:

, , , , , и т.д.
При конкретном виде условия (3) – и будем иметь , , и т.д.
Понятно, что различных численных связей и в рамках условия (3) существует бесконечно много и их полных перебор возможен лишь потенциально.
Мы не стремились сделать данный метод столь же конструктивным, как и известный. Нашей целью было показать, что при синтез соответствующих уравнению (1) его новых форм в виде уравнений (8) и (6), а также отвечающих им целых положительных делителей и и условия (3) обеспечивает возможность существования данного вида конкретных решений; и одновременно выявляет те формы делителей, которые отвечают невозможности существования подобных решений.
7. Обратимся к значениям с соответствующими им уравнениями общего вида (1), (4), (5) и условиями (2) и (3).
Поскольку произвольным, но фиксированным , в уравнении (1), удовлетворяющим условию (2), отвечает единственный положительный корень , интересно выяснить – сохраняется ли это условие для в уравнении (5).
Применим к последнему правило Декарта: число положительных корней соответствующего уравнения не превышает числа перемен знаков у его коэффициентов. Так как их всего одна, то положительных корней либо нет (что является формальным результатом применения правила Декарта), либо только один (что находится в согласии с уравнением (1)).
Остается узнать – может ли этот единственный положительный корень быть целым.
Для этого обратимся к уже применявшемуся нами необходимому условию: так как в уравнении (5) коэффициент полинома , а все остальные – целые величины, то положительный целый корень (если таковой существует) следует искать среди целых делителей коэффициента , включая 1 и сам свободный член.
В рассматриваемом нами случае простых единственно возможными целыми положительными делителями свободного члена являются –

1, , , (12)


Покажем, что все они приводят к противоречию при подстановке в уравнение (4).
Для первого делителя имеем –

  • левая часть уравнения: (13)

  • правая часть: , что указывает на противоречие.

Для получаем –



  • левая часть уравнения: (14)

  • правая часть: – что также приводит к противоречию.

Для третьего и четвертого делителей таких очевидных доказательств получить не удалось. Поэтому пришлось обратиться к следующей исторически сложившейся ситуации в отношении теоремы Ферма.


За долгие годы ее исследования были получены соответствующие доказательства для столь больших значений , что осталось убедиться в справедливости теоремы не просто для больших а для сколь угодно больших .
8. Сделаем это последовательно для третьего и четвертого делителей из формулы (12).
Итак, имеем –

  • левая часть уравнения: (15)

  • правая часть уравнения: .

Проведем в отношении них следующие очевидные преобразования –



  • левая часть: (16)

  • правая часть: .

Откуда, предел левой части при равен 2, а правой части – 1. Т.е. опять имеем противоречие (невозможность существования соответствующего равенства).
Что касается непрерывности доказательства по , то достаточно обратиться к установленному еще в 60-е годы прошлого века факту справедливости теоремы для и осознать, что выражения с квадратными скобками являются по своей сути одной и той же, близкой к 1, величиной для всех .
Аналогичное доказательство для четвертого делителя основано на представлении последнего в виде дроби, в числителе которой стоит третий делитель, а в знаменателе – второй.
9. Исследование теоремы для случая – с установлением возможности порождения конкретных целых положительных решений уравнения (8) означает, что для уравнения (1) при такие решения возможны.
Это важный момент доказательства, ибо, как писал Лейбниц, – «из невозможного, или содержащего в себе противоречие, может быть доказано даже контрадикторное»3.
Указанная возможность придает доказательству теоремы Ферма – о невозможности существования целых положительных решений уравнения (1) при – необходимую логическую полноту и строгость.



1 статья опубликована в журнале «Информационная математика»: М. 2005, №1(5)

2 Монографии – «Оценка распределенных лагов в экономических процессах» (М. 1977), «Оценка параметров и структуры экономических процессов» (М. 1985). Статьи – «Методологические основания эконометрии», «О логике получения надежных новых знаний в эконометрии», «Системные свойства объектов и принцип согласования в эконометрии» //Известия Академии Наук СССР. Сер. «Экономическая»: 1988, №2; 1990, №1; 1991, №4. «Обобщение числовой структуры и связей объектов из последней теоремы Ферма», «Доказательство теоремы Гольдбаха-Эйлера» //Информационная математика: М. 2003, №1(3); М. 2004, №1(4).

3 Г.В. Лейбниц. Сочинения в 4 томах, том 3, М. 1984, с 118.




страница 1
скачать файл


Смотрите также: