moglobi.ru Другие Правовые Компьютерные Экономические Астрономические Географические Про туризм Биологические Исторические Медицинские Математические Физические Философские Химические Литературные Бухгалтерские Спортивные Психологичексиедобавить свой файл
страница 1
Занятие 2

«Область определения»

Цели:- Применять понятие области определения к решению конкретной задачи;

решение типовых задач .

Методы обучения: лекция, письменные упражнения



  1. Актуализация знаний.

Проводится в форме диалога с учащимися.

Что мы понимаем под областью определения функции?

Как обозначается область определения функции?


  • По каким данным мы можем найти область определения функции? (По аналитической записи функции или ее графику)

- Используя рисунок, по графикам найдите область определения функции.

(см задания ЕГЭ, часть А)



  • Множества определений каких функций мы знаем? (Перечисляются основные функции с записью их на доске; для каждой из функций записывается ее область определения). В результате на доске и в тетради учащихся

Функция

Область определения

y = x2

y = x3

y =

y = | x |

y =

D(y) = ( – ∞, + ∞)

D(y) = ( – ∞, + ∞)

D(y) = [0, + ∞)

D(y) = ( – ∞, + ∞)

D(y) = ( – ∞, 0)  (0, + ∞)


y = sin x

y = cos x

y = tg x
y = ctg x

y = loga x

y = ax

D(y) = ( – ∞, + ∞)

D(y) = ( – ∞, + ∞)

D(y) = ( – ∞, )  (, + ∞),nZ

D(y) = ( – ∞, )  (, + ∞), nZ

D(y) = ( 0, + ∞)

D(y) = ( – ∞, + ∞)






  • Используя рисунки, найдите по графику область определения функции.

  • Найдите область определения функций:


  • Пусть . Найдите область определения функции:





  • Пусть D(f)=[-4;1] – область определения функции y=f(x). Найдите области определения функций:

  • Найдите область определения функции, учитывая все возможные значения параметра а:

Решение (г)

Необходимо решить систему неравенств:





    1. а-8, тогда D(y)=-8;1

    2. -8а1, тогда D(y)=а;1

    3. а=1, тогда D(y)=1

    4. а>1. тогда D(y)=




  • а) При каких значениях параметра а функция определена во всех точках отрезка [-11;7]?

б) При каких значениях параметра а функция определена во всех точках отрезка [а-1;а+1]?



  • Найдите все значения параметра а, при которых областью определения функции будет:

а) луч; б) отрезок; в) единственное число (точка); г) пустое множество.

  • Найдите точки разрыва функции у = сtgх + tg2х.

Решение.

Функция у = сtgх имеет разрыв в точках х = πп, п Є Z, а функция у = tgх имеет разрыв в точках х = π/2+πп, п Є z

Значит, функция у = tg 2х будет иметь разрыв в точках, которые можно найти из равенства:

2х = π/2+πп , х = π/4+πп/2, где п Є z

Итак, получим, что функция у = сtgх +tg2х имеет разрыв в точках х = πп, п Є z и х = π/4+πп/2, где п Є z

Ответ: πп/; π/4+πп/2.



  • Сколько целых чисел в области определения функции ?

Решение.

Так как , то область определения данной функции задается условиями:





. Целых значений в этой области определения три: 0; -1 и -4.

Ответ: три целых числа.

  • Найдите все значения я, при которых область оп­ределения функции

содержит ровно одно целое число.
План решения:

1- преобразовать выражение в скобках, разложить его на множители, выяснить, когда полученное про­изведение неотрицательно;

2- выразить область определения D(y) через параметр;

3- произвести отбор нужных значений параметра.

Основной момент решения со­стоит в проведении тождественных преобразований показатель­ных, степенных и алгебраических выражений. Без правильного выполнения этого шага невозможно дальнейшее решение зада­ния.

Решение:

1) Проведем тождественные преобразования в основании степени. функции . По

определению степени с показателем 0,5 число х лежит в D(y) только если

(ax-a4)(√x-√a)≤0. Так как по условию х стоит в основании логарифма, а а — под знаком логарифма, то х>0, х≠1,a>0. Рассмотрим три случая: а = 1, 0<а<1 и а>1.



  1. Если a=1, то (ax — a4)(√x-√a)≤0 при всех натуральных х, то есть а=1 не удовлетворяет условию задачи.

  2. Пусть 0<а< 1. Тогда показательная функция с основанием, а убывает. Если х≤4, то ах≥а4 и ах4≥0. Значит, √a-√x≤0 и х≤a, так как степенная функция z = f(x) возрастает.

Поэтому то есть х принадлежит (0; а]. Если х≥4, то получаем ,то есть х принадлежит [4; + ). Значит, D(y)= (0; a] U [4; +) и содержит все целые х≥4, т. е. 0 < а < 1 не удовлетворяют условию задачи.

4) Пусть а > 1. Так как показательная функция с основанием а возрастает и степенная функция z = √x возрастает, то получаем, что или , или . Значит, D(y)= есть отрезок с концами в точках a и 4 .

5) Если а≥5, то в D(y)= [4; а] есть, как минимум, два це­лых числа: 4 и 5. Если 1

Ответ: (3; 5).



  • Найти все значения параметра a, при которых в области определения функции y=log (aax-2-ax) лежат числа 13, 15, 17, но не лежат числа 3, 5, 7.

Решение:

1) По определению логарифма xD(y), в том и только том случае, если aax-2 >ax . При a=1 область определения пуста.

Рассмотрим два случая.


  1. 0

aax-2 >ax,

ax-2


(1-a)x>-2.

Так как 00. Значит, D(y)=(-;+). Но в этом промежутке лежат все положительные числа и, в частности, числа 3, 5, 7. Поэтому такие a не удовлетворяют условию.

2. a>1. Тогда показательная функция с основанием a возрастает и поэтому

aax-2 >ax,

ax-2>x,

(a-1)x>2. Так как a>1, то a-1>0. Значит, D(y)=(). В этом промежутке лежат числа 13, 15, 17, только тогда, когда его левый конец меньше 13. А для того, чтобы в нем не было чисел 3, 5, 7 нужно, чтобы левый конец был не меньше 7.



2) Получаем двойное неравенство на параметр a>1:

,

7(a-1)≤2<13(a-1),



. Ответ: ()


  • Найдите все положительные, не равные 1 значения a, при которых область

определения функции y=(ax √a+a3+0,5logax - x 0,5+xlogxa - a3,5)0.5 не содержит

двузначных натуральных чисел.



Решение.:1) Проведем равносильные преобразования в основании степени

ax ∙√a+a3+0,5logax-x 0,5+xlogxa-a3,5 =ax√a+√x∙a3-√x∙ax a3 √a=( ax-a3 )(√a-√x).

По определению степени с показателем 0,5 число x лежит в области определения D(y), только если произведение двух сомножителей ( ax-a3 )(√a-√x) неположительное. По условию a>0,a≠1, x>0,x≠1. Рассмотрим два случая:

01.

2) Пусть 0так как показательная функция с основанием a убывает, а степенная функция z=√x возрастает. Значит, D(y)=(0;a]U[3;+00) и содержит все двузначные числа, то есть 0
Пусть a>1. Так как показательная функция с основанием a>1 возрастает и степенная функция z=√x возрастает, то тогда Значит D(y) есть отрезок с концами в точках a и 3.


  1. Если a≥10, то в D(y)=[3;a] есть двузначное число, например 10.

Если a принадлежит (1;10), то отрезок с концами a и 3 расположен левее 10 и не содержит двузначных чисел.

Ответ:(1;10).




  • Из области определения функции взяли все целые положительные числа и сложили их. Найдите все значения, при которых такая сумма будет больше 7, но меньше11.

Решение:

1).Графиком дробно-линейной функции или является гипербола.

По условию x>0. При неограниченном возрастании x дробь монотонна и приближается к нулю, а значение функции z возрастает и приближается к 7. Кроме того, z(0)=1.

2). По определению логарифма область определения D(y) состоит из решений неравенства .

При a=1 получаем неравенство, у которого решений нет. Поэтому функция y нигде не определена.

При 0 равносильно неравенству . Так как x>0, то z(x)>z(0)=1. Значит, каждое положительное x является решением неравенства . Поэтому для таких 0

При a>1 показательная функция с основанием a возрастает и неравенство равносильно .
Если a7, то любое положительное число является его решением и указанную в условии сумму нельзя найти.







Если 1<a<7, то множество положительных решений неравенства - это интервал (0;x0), где a=z(x0).

3). Целые числа расположены в этом интервале начиная с 1. Посчитаем суммы последовательно идущих натуральных чисел начиная с 1:

1; 1+2=3; 1+2+3=6; 1+2+3+4=10; 1+2+3+4+5=15;… . Поэтому указанная сумма будет больше 7 и меньше 11, только если число 4 лежит в интервале (0;x0), а число 5 не лежит в этом интервале.

Значит, 4<x0≤5. Так как возрастает на [4;5], то z(4)<z(x0)z(5).

Так как a=z(x0), то , то есть .

Ответ:


  • Найти все натуральные значения параметра n>1, при которых отрезок длины n является областью определения функции y=

Решение:

1) n-нечетное, то D(y)=R. Следовательно, искомые значения n нужно искать среди четных чисел. Найдем D(y) для n - четных.

(9-3x-3n)n+7·(2x+n)5n-3≥0.

Исходя из того, что n- четное, то n+7 и 5n-3 - числа нечетные и поэтому последнее неравенство равносильно такому: (9-3x-3n)·(2x+n)≥0.

Решим его относительно x.

(3x-(9-3n))(2x+n)≤0,

(x-(3-n))(x+)≤0.

Решением этого неравенства будет промежуток 3-n ≤x≤ -n/2 или промежуток –≤x≤3-n (при –=3-n получаем одно и тоже число). При двух условиях длина этого промежутка равна:


│3-n-(-)│= │(3-)│. По условию, эта длина должна быть равна n.

│3-│=n,

3-=n,

3= или 3=-, то есть n=2 или n= -6. Но n-натуральное, следовательно, n=2.

Ответ:2.
Иногда знание ОДЗ позволяет доказать, что уравнение не имеет решений, а иногда позволяет найти решения уравнения непосредственной подстановкой чисел из ОДЗ. С каждым уравнением (неравенством, системой) связаны конструирующие их аналитические выражения. Последнее в свою очередь могут задавать функции одной или нескольких переменных. С этой точки зрения, например, уравнение f(x)=g(x) мы можем рассматривать как задачу о нахождении значения аргумента x, при которых равны значения функции f и g. Такие, казалось бы, очевидные рассуждения нередко дают возможность найти результативный путь решения многих задач. Кратко основную идею можно сформировать так: ключ к решению задачи - свойство функций.

Далее при решении задач мы будем отдавать предпочтение функциональному подходу. Почему так - рассмотрим простой пример.

Требуется решить неравенство √x>2.

С одной стороны, используя свойства числовых неравенств (возведение обеих частей в четную степень), можно показать, что неравенство √x>2 равносильно x>4.

C другой стороны, функциональный подход позволяет рассуждать так: перепишем исходное неравенство в виде √x >√4. Далее, учитывая характер монотонности функции y=√x,получаем x>4.

Решите уравнение:



Решение. ОДЗ этого уравнения можно найти, решив систему неравенств:

ОДЗ состоит из одной точки х=1. Остается проверить. является ли х=1 корнем уравнения.


Ответ: 1.

 Решите уравнение:

Решение.

ОДЗ:

Ответ: решений нет.

 Решить уравнение



Решение. ОДЗ этого уравнения состоит из всех х, одновременно удовлетворяющих условиямт.е. ОДЗ есть Подставляя эти значения х в исходное уравнение, получаем, что его левая и правая части равны 0, а это означает, что все являются его решениями.

Ответ:



  • Решите уравнение:.

Решение: Рассмотрим функции и .

На области определения функции y=f(x) следует , то есть наибольшее значение функции равно 4 и достигается только при одном значении .

На области значения функции , то есть наименьшее значение функции тоже равно 4. Причем .

Значит, является единственным корнем исходного уравнения.

Ответ:-1,25.


  • Решить уравнение log2(x2+2x+2) +log3(x6+2x5+x4+1)=0

Решение: рассмотрим область определения каждого выражения.

log2(x2+2x+2)= log2(x2+2x+1+1)= log2((x+1)2+1). Тогда х - любое число, (x+1)2+11, и log2((x+1)2+1) 0.

log3(x6+2x5+x4+1)= log3(x4 (x+1)2+1). Тогда х - любое число, x4 (x+1)2+11, и

log3(x4 (x+1)2+1) 0.

Исходное условие достигается при

log2((x+1)2+1)= 0

log3(x4 (x+1)2+1) =0




(x+1)2+1= 0

x4 (x+1)2+1) =0 , т.е. х=-1
Ответ : -1


  • Решить неравенство: <

Решение: Найдем область определения каждой части неравенства

Решением данной системы является число -2.

И так как это единственное число из области определения , то оно и есть решение данного неравенства.

Ответ : -2


  • Решить неравенство

Решение: Область допустимых значений данного неравенства является решение системы, т.е. х=2n, где nN .

Подставим и получим 40+log3n >2

log3n>1

n>3, и так как натуральное, то n4



Ответ: 2n, где nN, n4
страница 1
скачать файл


Смотрите также: