moglobi.ru Другие Правовые Компьютерные Экономические Астрономические Географические Про туризм Биологические Исторические Медицинские Математические Физические Философские Химические Литературные Бухгалтерские Спортивные Психологичексиедобавить свой файл
страница 1

теория вероятностей, занятие №5


Занятие № 5.
Тема: Понятие случайной величины. Дискретные случайные величины. Основные дискретные распределения.

Случайная величина- это величина, связанная со случайным экспериментом. Значение случайной величины нельзя однозначно предсказать до проведения опыта. Однако можно дать вероятностный прогноз на значения случайной величины, т.е. численно прогнозировать, что величина примет определённое значение. Обозначаются случайные величины либо большими латинскими буквами X, Y, Z, либо маленькими греческими , и т.д. Можно обозначать буквами с индексами: .


Типы случайных величин: Случайные величины бывают двух основных типов: дискретные и непрерывные. Бывают величины смешанного типа, но мы их касаться не будем. Дискретными называют величины множество значений которых дискретно: конечно или счётно. Непрерывными называют величины, множество значений которых непрерывно: либо это вся числовая ось R, либо непрерывное подмножество числовой оси: отрезок, интервал, луч и т.д.

Чем задаётся распределение случайной величины: Распределение случайной величины независимо от типа задаётся функцией распределения. Функция распределения – это функция, которая для каждого задаёт вероятность попадания в интервал . Обозначается функция распределения следующим образом:



индекс внизу означает, что это функция распределения с.в.

Свойства функции распределения:

1.

2.

3. Функция распределения не убывает и непрерывна слева

4.Вероятность попадания в интервал

!!! Замечание: В некоторых курсах теории вероятностей функцию распределения определяют следующим образом:


При таком определении функции распределения свойство 4 имеет вид:


.

В частности, в математическом пакете MathCad 2001 функция распределения вводится так.



Дискретные случайные величины.

Распределение дискретной случайной величины можно задать с помощью таблицы, которая называется рядом распределения. Ряд распределения выглядит следующим образом:


X1X2Xn-1XnPp1p2pn-1pn

-название случайной величины

- набор значений случайной величины

- набор соответствующих вероятностей (pi –вероятность того, что случайная величина примет значение )
Замечание 1: Если мн-во значений случайной величины счётно, то таблица не ограничена вправо. (Счётным называется множество, элементы которого можно занумеровать)

Замечание 2. Ряд распределения может быть записан в формульном виде, если вероятность является некоторой функцией от значения случайной величины:

- диапазон значений случайной величины

(см. теорию Основные дискретные распределения: все ряды распределения заданы в формульном виде)

Условие нормировки:

Расчёт вероятности попадания дискретной случайной величины в некоторый диапазон с помощью ряда распределения:




Распределение дискретной случайной величины можно задать как распределение любой случайной величины с помощью функции распределения . Функция распределения дискретной случайной величины всегда ступенчатая. Функция распределения по ряду распределения однозначно восстанавливается следующим образом: скачки функции будут только в точках, соответствующих значениям случайной величины , а величины скачков будут равны вероятностям этих значений, то есть

Пример восстановления функции распределения по ряду распределения:
Пусть случайная величина задана своим рядом распределения:

1378P0.20.40.30.1

Функция распределения графически выглядит следующим образом:



Аналитически можно её записать следующим образом:

!!! По функции распределения можно однозначно восстановить ряд распределения:

значения – это точки скачков, а вероятности это величины скачков.
Расчёт вероятностей попадания в интервал через ряд и через функцию распределения для разных типов интервалов:
1 тип интервала (левый конец принадлежит, а правый нет)

-расчёт через функцию распределения (см. св-во 4)

- расчёт через ряд распределения

2 тип интервала (левый конец не принадлежит, а правый –принадлежит)





Замечание:

-величина скачка функции в точке a

(т.к. ни одно из значений случайной величины не попадает под этот диапазон) – расчёт через ряд распределения

3 тип интервала (левый и правый концы принадлежат)

– расчёт через ряд распределения
4 тип интервала (левый и правый концы не принадлежат)

-через ряд распределения

ВЫВОД:
Видно, что вероятности попадания в интервал можно считать для дискретной случайной величины как через ряд распределения, так и через функцию распределения. Также из проделанных выкладок видно, что с рядом распределения работать проще, чем с функцией распределения.
Числовые характеристики дискретной случайной величины:
Математическое ожидание это среднее значение случайной величины
-формула для расчёта мат. ожидания д.с.в.

Свойства м.о. (аналогичные свойства справедливы и в непрерывном случае)


Дисперсия – это среднее отклонение случайной величины от своего математического ожидания в квадрате (мера разброса с.в. относительно своего математического ожидания).
- формула для расчёта дисперсии д.с.в.
Свойства дисперсии (аналогичные свойства справедливы и в непрерывном случае)

  1. - только для независимых с.в.

  2. для постоянной с

  3. - постоянный множитель выносится в квадрате


Среднее квадратическое отклонение –корень из дисперсии (реально характеризует средний разброс с.в. относительно мат. ожидания)

Основные дискретные случайные величины (с.в.).

Определение:

С.в. X называется функция, ставящая в соответствие любому элементарному исходу число . С.в. бывают дискретные, непрерывные и не относящиеся ни к тому, ни к другому типу. Мн-во значений дискретной с.в. либо конечно, либо счётно.

В данной разработке даётся характеристика основных дискретных случайных величин, которые часто возникают при решении конкретных задач и их распределения можно применять уже в виде готовых формул к решению этих задач.



Испытания Бернулли: это независимые испытания, в каждом из которых мы различаем 2 исхода условно называемые успех и неудача . Вероятность успеха обозначается , а вероятность неудачи ( и не меняются от опыта к опыту).
  1. Биномиальное распределение:

  • Пусть проводится испытаний Бернулли с вероятностью успеха . Рассматривается с.в. -- число успехов в этом эксперименте. Ряд распределения с.в. в формульном виде выглядит следующим образом:



Ограничения на параметры:

Говорят, что с.в. имеет биномиальное распределение с параметрами и .Это дискретная случайная величина с конечным множеством значений.



Частный случай: при говорят, что с.в. имеет распределение Бернулли с параметром . Ряд распределения c.в. выглядит следующим образом:

X01Pqp


Связь между биномиальным распределением и распределением Бернулли:

Пусть с.в. имеет биномиальное распределение с параметрами и (число успехов в испытаниях Бернулли с вер. успеха ) . Тогда её можно выразить следующим образом через случайные величины , имеющие распределение Бернулли с параметром :



,где

. Видно, что имеют распределение Бернулли с вероятностью успеха .


  1. Геометрическое распределение

Пусть проводятся испытания Бернулли с вероятностью успеха до достижения первого успеха. Рассматривается с.в. --- число неудач в этом эксперименте. Ряд распределения с.в. выглядит в формульном виде следующим образом :

Ограничения на параметры:

Говорят, что с.в. имеет геометрическое распределение с параметром . Это дискретная случайная величина со счётным множеством значений.



  1. Сдвинутое геометрическое распределение

Пусть проводятся испытания Бернулли с вероятностью успеха до достижения первого успеха. Рассматривается с.в. --- число опытов в этом эксперименте. Ряд распределения с.в. выглядит в формульном виде следующим образом :

Ограничения на параметры: .

Говорят, что с.в. имеет сдвинутое геометрическое распределение с параметром . Это дискретная случайная величина со счётным множеством значений. Иногда в литературе это распределение называют геометрическим.

Связь геометрического и сдвинутого геометрического распределений:

Пусть имеет геометрическое распределение с параметром , а --- сдвинутое геометрическое распределение с параметром . Тогда и связаны следующим образом:


.



  1. Отрицательно-биномиальное распределение.

Пусть проводятся испытания Бернулли с вероятностью успеха до достижения успеха. С.в. -число неудач в этом эксперименте (она складывается из числа неудач до первого успеха, числа неудач от 1-го до 2-го успеха и т.д. … числа неудач от до успеха) . Ряд распределения с.в. в формульном виде выглядит след. образом :
Ограничения на параметры:

Говорят, что с.в. имеет отрицательно-биномиальное распределение с параметрами и . Это дискретная случайная величина со счётным множеством значений.



Связь отрицательно-биномиального распределения с геометрическим:

Если отрицательно биномиальное распределение совпадает с геометрическим, т.е. геометрическое распределение --- это частный случай отрицательно биномиального распределения.

Пусть с.в. имеет отрицательно-биномиальное распределение с параметрами и (число неудач до -го успеха в последовательности испытаний Бернулли с вероятностью успеха ) .Тогда её можно выразить следующим образом через случайные величины , имеющие геометрическое распределение с параметром :
, где

--- число неудач до первого успеха

--- число неудач от первого до второго успеха

--- число неудач от второго до третьего успеха

и т.д.




--- число неудач от до -го успеха.



  1. Распределение Паскаля.

Пусть проводятся испытания Бернулли с вероятностью успеха до достижения успеха. С.в. -число опытов в этом эксперименте (она складывается из числа опытов до первого успеха, включая этот успех, числа опытов от 1-го до 2-го успеха, включая этот успех, и т.д. … числа опытов от успеха до успеха, включая этот успех) . Ряд распределения с.в. в формульном виде выглядит след. образом :
Ограничения на параметры:

Говорят, что с.в. имеет распределение Паскаля с параметрами и . Это дискретная случайная величина со счётным множеством значений.



Связь распределения Паскаля со сдвинутым геометрическим распределением:

Если распределение Паскаля совпадает со сдвинутым геометрическим распределением. Т.е. сдвинутое геометрическое распределение --- это частный случай распределения Паскаля.

Пусть с.в. имеет распределение Паскаля с параметрами и (число опытов до -го успеха в последовательности испытаний Бернулли с вероятностью успеха , включая этот успех) .Тогда её можно выразить следующим образом через случайные величины , имеющие сдвинутое геометрическое распределение с параметром :
, где

--- число опытов до первого успеха, включая этот успех

--- число опытов от первого до второго успеха, включая этот успех

--- число опытов от второго до третьего успеха, включая этот успех

и т.д.




--- число опытов от до -го успеха, включая этот успех .

Связь отрицательно-биномиального распределения и распределения Паскаля:
Пусть с.в. имеет отрицательно-биномиальное распределение с параметрами и .

Пусть с.в. имеет распределение Паскаля с параметрами и .

Тогда с.в. и связаны следующим образом:




  1. Распределение Пуассона.

Пусть в систему поступают вызовы. среднее число вызовов поступающих в систему в единицу времени. Рассмотрим с.в. --- число вызовов, поступающих в систему в единицу времени. Ряд распределения с.в. в формульном виде выглядит след. образом:

Ограничения на параметры:
Говорят, что с.в. имеет распределение Пуассона с параметром . Это дискретная случайная величина со счётным множеством значений. Поток поступающих вызовов называется пуассоновским, а называется интенсивностью потока.

  1. Гипергеометрическое распределение.

Пусть имеется N элементов, из которых M 1-го типа и N-M 2-го типа. Из этих N элементов случайным образом выбирают n элементов. С.в. X --- число элементов 1-го типа в выборке. Ряд распределения с.в. в формульном виде выглядит следующим образом:



Огр. на параметры: ,

Говорят, что случайная величина X имеет гипергеометрическое распределение с параметрами n,N и M.


§ 2. Задачи по теме «Дискретные случайные величины».
Задача 1.

Вероятность приёма самолётом радиосигнала при каждой передаче равна 0,7. Рассматривается с.в. -- число принятых сигналов при шестикратной передаче.

Найти распределение с.в. X.
Решение:

Найти распределение дискретной с.в. --- это значит построить ряд распределения.

Видно, что случайная величина имеет биномиальное распределение с параметрами

=6 и =0.7 (успех-это принятие сигнала)

Запишем ряд распределения в формульном виде.
.
Можно произвести расчёт и записать ряд распределения в виде таблицы.
Задача 2. (*-означает, что необязательна для рассмотрения )

15 раз бросают по три игральных кости одновременно. С.в. --- число таких бросаний, при каждом из которых ровно на 2 костях появится по 2 очка. Найти распределение с.в.


Решение:

Найти распределение дискретной с.в. --- это значит построить ряд распределения.

Видно, что случайная величина имеет биномиальное распределение (успех--- это выпадение ровно на 2 костях по 2 очка при одном бросании). Параметр 15, а параметр надо найти.

Для вычисления параметра применим формулу Бернулли:

Успех--- выпадение 2 ( --- вероятность успеха)

Неудача --- любое другое число очков.

Число испытаний =3 (т.к. бросается 3 игр. кости)

Теперь, когда вероятность успеха найдена, можно приступить к записи ряда распределения с.в. в формульном виде:


.
Можно произвести расчёт и записать ряд распределения в виде таблицы.
Задача 3.

В течении часа на станцию скорой помощи поступает случайное число вызовов , распределённое по закону Пуассона с параметром . Найдите вероятность того, что в течении часа поступит :

А). ровно 2 вызова

Б). не более 2 вызовов

В). не менее 2 вызовов
Решение:
Запишем ряд распределения с.в. в формульном виде:

А).

Б).


В).
Задача 4. (*)

В приборный отсек космического корабля за время полёта попадает случайное число частиц, распределённое по закону Пуассона с параметром , причём вероятность попасть в блок управления, расположенный в отсеке космического корабля, для каждой из этих частиц равна . Определить вероятность того, что в блок попадет :


А). ровно частиц

Б). хотя бы одной частицы


Решение: Интенсивность потока, идущего в блок управления будет равна (т.к. доля частиц потока, попадающих в блок управления = , а интенсивность общего потока равна ). Обозначим через --- случайную величину, имеющую распределение Пуассона с параметром . Тогда ряд распределения с.в. имеет вид:

А).

Используя полученный ряд распределения можно подсчитать вероятность того, что поступит хотя бы одна заявка.
Б).



Задача 5.

По цели производят серию независимых выстрелов до первого попадания. Даны вероятность попадания в цель при одном выстреле и запас патронов . Рассматривается с.в. --- число израсходованных патронов. Найти распределение с.в. :


Решение:

, , (если израсходовано патронов, то это значит, что выстрелы до были неудачными и -ый выстрел, на котором остановились, оказался удачным: вероятности перемножаются, т.к. выстрелы независимы).

патронов будет израсходовано в случае, когда все выстрелы до выстрела включительно окажутся неудачными и результат последнего выстрела нам не важен, так как патрон всё равно будет израсходован. Т.е.
.

Т.о. ряд распределения случайной величины выглядит в формульном виде следующим образом:




Это распределение похоже на геометрическое, но оно в некотором плане урезано, т.к. есть ограничение на число патронов.
Задача 6.

Из партии в 105 деталей, среди которых 5 нестандартных отбирают случайным образом 42 детали. С.в. --- число стандартных деталей среди отобранных деталей . Найти распределение с.в. X.


Решение:

Видно, что с.в. имеет гипергеометрическое распределение. Определим диапазон значений с.в. . Максимальное значение = 42, а минимальное 37, т.к. у нас нестандартных всего 5.


Ряд распределения с.в. в формульном виде выглядит следующим образом:

Задача 7.

Летательный аппарат, по которому ведётся стрельба, состоит из 2 различных по уязвимости частей. Аппарат выходит из строя при одном попадании в первую часть или трёх попаданий во вторую. Стрельба ведётся до поражения летательного аппарата. Рассматривается с.в. --- число попаданий в летательный аппарат, которое понадобится для его поражения, если каждый попавший в аппарат снаряд поражает первую часть с вероятностью 0,3 и вторую часть с вероятностью 0,7.



  • Решение:



(если мы сразу попадём в первую часть)

(если мы сначала попадём во вторую часть, а затем в первую)

(если мы в первый раз попадём во вторую часть, второй раз--- во вторую, а третий раз --- всё равно в какую).
Больше вариантов для значений случайной величины нет.
123P0,30,210,49

Задача 8.
Переналадка линии осуществляется после 30 бракованного изделия выпущенного на линии (не обязательно подряд). Процент брака на линии составляет 2 %. Рассматриваются 2 случайные величины: - число годных изделий выпущенных между двумя переналадками и --- число всех изделий выпущенных между двумя переналадками.
Решение:

С.в. имеет отрицательно биномиальное распределение с параметрами и («успех»--- бракованное изделие). С.в. имеет распределение Паскаля с параметрами и . Тогда их ряды распределения в формульном виде будут выглядеть следующим образом:

Задача 9.
Из партии в 10 деталей, среди которых две бракованные, наудачу выбирают три детали. Рассматривается случайная величина --- число бракованных изделий среди выбранных. Найти распределение с.в. . По найденному ряду восстановить функцию распределения:
Решение:
С.в. имеет гипергеометрическое распределение с параметрами: , , .

Запишем ряд распределения с.в. в формульном виде :


.

Прежде чем восстанавливать функцию распределения, надо восстановить ряд в табличном виде (т.е. рассчитать вероятности по формуле).



Смотри дальше пример восстановления функции распределения по ряду распределения.


Задача 10.
Игральную кость бросают 1 раз. Если выпадает чётное число очков, игрок выигрывает 8 рублей, если нечётное, но больше одного --- проигрывает 1 рубль, если выпадет одно очко— проигрывает 10 рублей. Рассматривается с.в. --- величина выигрыша в данной игре.
Решение:
Значения случайной величины : 8, -1, -10.
Рассчитаем вероятности этих значений:




Ряд распределения с.в. X выглядит следующим образом:
X-10-18P1/61/31/2
Значения в ряду распределения располагаются в порядке возрастания. Это задача не на именное распределение, а на непосредственный подсчёт вероятностей. Для контроля надо проверить условие нормировки, что сумма вероятностей в ряду равна 1.

Задача 11. (*)
Имеется боезапас 4 патрона.

Ведётся независимая стрельба по мишени с вероятностью попадания при каждом выстреле =0.2. Построить ряд распределения с.в. --- числа выстрелов, если стрельба ведётся:

1). до 1-го попадания или окончания боезапаса

2). до 2 попаданий (не обязательно подряд) или окончания боезапаса

3). до двух попаданий подряд или окончания боезапаса

4). до 2 попаданий подряд или пока есть возможность такого исхода


Решение:
1). Возможные значения с.в. : 1,2,3, 4

попадание --- успех (У)

промах --- неудача (Н)







(мы записали, какие элементарные исходы соответствуют каждому знач. с.в.)









Ряд распределения с.в. будет выглядеть с.о.

X1234P0.20.160.1280.512
2). Возможные значения с.в. : 2,3, 4

попадание --- успех (У)

промах --- неудача (Н)





(мы записали какие элементарные исходы соответствуют каждому знач. с.в.)






Ряд распределения с.в. будет выглядеть с.о.


X234P0.040.0640.896

3). Возможные значения с.в. : 2,3, 4

попадание --- успех (У)

промах --- неудача (Н)








(мы записали, какие элементарные исходы соответствуют каждому знач. с.в.)




Ряд распределения с.в. будет выглядеть с.о.


X234P0.040.0320.928

4). Возможные значения с.в. : 2,3, 4

попадание --- успех (У)

промах --- неудача (Н)









Ряд распределения с.в. будет выглядеть с.о.


X234P0.040.80.16

Задача 12.

Ведётся стрельба по мишени с вероятностью попадания при каждом выстреле 0.8 и неограниченным боезапасом до первого попадания. Рассматриваются 2 случайные величины:



X число выстрелов

Y – число промахов

Найти распределение с.в. X и Y. С.в. X имеет сдвинутое геометрическое распределение, а с.в. Y имеет геометрическое распределение. Ряды распределения в формульном виде имеют вид:






  • Функции от дискретных случайных величин.

Пусть --- дискретная случайная величина



--- обычная числовая функция.

Предполагается, что мн-во значений с.в. входит в область определения ф-ции

Рассматривается с.в. .

Ставится задача о нахождении распределения с.в. .
Функция от дискретной с.в. всегда будет дискретной случайной величиной (т.к. её множество значений не может быть больше, чем множество значений с.в. , а множество значений с.в. конечно или счётно).

Решение этой задачи рассмотрим на конкретном примере.

Пример.

Дано:

Дискретная с.в. задана своим рядом распределения:


-2-1012P0.20.20.20.20.2

С.в.



Найти распределение с.в. .

Решение: С.в. будет дискретной с.в. Найти её распределение --- это построить её ряд распределения.

1 шаг

Рассчитаем значение функции от всех значений с.в.











Таким образом, с.в. принимает следующие значения :

2 шаг

Рассчитаем вероятности этих значений:







Т.е. вероятности при одинаковых значениях с.в. суммируются.


Ряд распределения с.в. выглядит следующим образом:

014P0.20.40.4


--


страница 1
скачать файл


Смотрите также: